方企勤 第一章 分析基础 第5题
📝 题目
例 5 求 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\sqrt[n]{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}}}$ .
💡 答案解析
解
$$ 1 \leq \sqrt[n]{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}} \leq \sqrt[n]{n} $$
$$ \overset{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\sqrt[n]{n} = 1}{ = }\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\sqrt[n]{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}} = 1. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：建立不等式夹逼
由于调和级数部分和大于1，且小于n（因为每一项≤1），所以有：1 ≤ 1 + 1/2 + ... + 1/n ≤ n。开n次方后得到：1 ≤ (1 + 1/2 + ... + 1/n)^(1/n) ≤ n^(1/n)。
公式：1 ≤ 1 + 1/2 + ... + 1/n ≤ n
提示：注意调和级数部分和没有简单闭形式，但可用不等式放缩。
步骤 2/2
目标：计算夹逼极限
已知极限 lim_{n→∞} n^(1/n) = 1，而左边常数1的极限也是1，由夹逼定理得原极限为1。
公式：lim_{n→∞} n^(1/n) = 1
提示：n^(1/n)的极限是常用结论，可用取对数或stolz定理证明。
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