方企勤 第一章 分析基础 第22题
📝 题目
例 22 求证: 序列 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 有界的充分且必要条件是: $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 的任意子序列 $\left\{ {x}_{{n}_{k}}\right\}$ 都有收敛的子序列.
💡 答案解析
证 必要性 因为 ${x}_{n}$ 有界,所以 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 的任意子序列 ${x}_{{n}_{k}}$ 也有界, 由波尔察诺定理, 它必有收敛的子序列.
充分性 用反证法. 假设 ${x}_{n}$ 无界,那么它一定是无上界或无下界. 不妨设 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 无上界 (否则考虑 $\left\{ {-{x}_{n}}\right\}$ ). 由
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：证明必要性：若序列有界，则任意子序列都有收敛子序列
设序列 {x_n} 有界，则其任意子序列 {x_{n_k}} 也有界。根据波尔察诺-魏尔斯特拉斯定理（有界序列必有收敛子序列），子序列 {x_{n_k}} 存在收敛的子序列。
提示：注意波尔察诺-魏尔斯特拉斯定理的应用条件：有界序列。
步骤 2/2
目标：证明充分性：若任意子序列都有收敛子序列，则原序列有界
采用反证法。假设 {x_n} 无界，则它无上界或无下界。不妨设 {x_n} 无上界（否则考虑 {-x_n}）。由无上界定义，对任意正整数 k，存在 n_k 使得 x_{n_k} > k。构造子序列 {x_{n_k}}，该子序列无上界，因此无界，从而不可能有收敛子序列（因为收敛序列必有界），与已知条件矛盾。故假设不成立，原序列有界。
提示：反证法：假设结论不成立，构造一个无界子序列，导出矛盾。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。