方企勤 第一章 分析基础 第5题
📝 题目
例 5 的结论,考虑引进一个变换 ${x}_{n}$ ,使得
$$ 1 + \frac{{x}_{n}}{n} = \frac{\sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b}}{2}. $$
💡 答案解析
解 令 ${x}_{n} = n\left\lbrack {\frac{\sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b}}{2} - 1}\right\rbrack$ ,则有
$$ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n} = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{n}{2}\left\lbrack {\sqrt[n]{a} - 1 + \sqrt[n]{b} - 1}\right\rbrack \overset{\text{ 用
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：引入变换并定义序列
根据题目提示，令 x_n = n * ((a^(1/n) + b^(1/n))/2 - 1)，使得 1 + x_n/n = (a^(1/n) + b^(1/n))/2。
公式：x_n = n\left[\frac{\sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b}}{2} - 1\right]
提示：注意变换的形式，确保等式成立。
步骤 2/4
目标：改写极限表达式
将 x_n 的极限写成：lim_{n→∞} x_n = lim_{n→∞} (n/2)[(a^(1/n)-1) + (b^(1/n)-1)]。
公式：\lim_{n\to\infty} x_n = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{2}\left[\sqrt[n]{a}-1 + \sqrt[n]{b}-1\right]
提示：将常数因子 1/2 提出。
步骤 3/4
目标：利用已知极限
使用极限 lim_{n→∞} n(√[n]{a} - 1) = ln a，类似地对于 b。因此，lim_{n→∞} x_n = (1/2)(ln a + ln b) = ln√(ab)。
公式：\lim_{n\to\infty} n(\sqrt[n]{a}-1) = \ln a
提示：这是常用极限，可通过取对数或等价无穷小证明。
步骤 4/4
目标：得出最终结果
因此，lim_{n→∞} x_n = ln√(ab)。
公式：\lim_{n\to\infty} x_n = \ln\sqrt{ab}
提示：结果简洁，注意对数性质。
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