方企勤 第一章 分析基础 第14题
📝 题目
例 14 设 $f\left( x\right) ,g\left( x\right)$ 在 $\left( {a, + \infty }\right)$ 上定义,且
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = + \infty ,\;\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}g\left( x\right) = + \infty , $$
求证: $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}g\left( {f\left( x\right) }\right) = + \infty$ .
💡 答案解析
证法 1 在 $\left( {a, + \infty }\right)$ 上任取一个序列 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ ,使得 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n} = + \infty}$ , 由题设则有
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = + \infty \Rightarrow \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}f\left( {x}_{n}\right) = + \infty $$
$$ \text{ 记 }{y}_{n} = f\left( {x}_{n}\right) {y}_{n} \rightarrow + \infty \;\left( {n \rightarrow + \infty }\right) . $$
于 是由 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}g\left( x\right) = + \infty \Rightarrow \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}g\left( {y}_{n}\right) = + \infty$ ,即 $\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}g\left( {f\left( {x}_{n}\right) }\right) =$ $\displaystyle{+ \infty}$ . 再根据序列极限与函数极限关系定理得 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}g\left( {f\left( x\right) }\right) = + \infty$ .
证法 2 对 $\forall M > 0$ ,
由 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}g\left( x\right) = + \infty \Rightarrow \exists L > 0$ ,使得当 $x > L$ 时,有 $g\left( x\right) > M$ . 对此 $L > 0$ ,
由 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = + \infty \Rightarrow \exists X > 0$ ,使得当 $x > X$ 时,有 $f\left( x\right) > L$ . 于是,当 $x > X$ 时,有 $g\left( {f\left( x\right) }\right) > M$ ,按定义即有
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}g\left( {f\left( x\right) }\right) = + \infty . $$
\subsubsection{六、从一个极限性质导出另一个极限性质}