方企勤 第一章 分析基础 第24题
📝 题目
例 24 指出函数 $f\left( x\right) = \left\lbrack \frac{1}{x}\right\rbrack \left( {x > 0}\right)$ 的间断点,并说明属于哪一类间断点.
💡 答案解析
解 $\forall n \in N$ ,当 $\frac{1}{n} < x < \frac{1}{n - 1}$ 时,有
$$ n - 1 < \frac{1}{x} < n \Rightarrow \left\lbrack \frac{1}{x}\right\rbrack = n - 1\;\left( {\forall x \in \left( {\frac{1}{n},\frac{1}{n - 1}}\right) }\right) $$
$$ \Rightarrow \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \frac{1}{n} + 0}}\left\lbrack \frac{1}{x}\right\rbrack = n - 1\text{ . } $$
另一方面,当 $\frac{1}{n + 1} < x < \frac{1}{n}$ 时,有
$$ n < \frac{1}{x} < n + 1 \Rightarrow \left\lbrack \frac{1}{x}\right\rbrack = n\;\left( {\forall x \in \left( {\frac{1}{n + 1},\frac{1}{n}}\right) }\right) $$
$$ \Rightarrow \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \frac{1}{n} - 0}}\left\lbrack \frac{1}{x}\right\rbrack = n\text{ . } $$
故 $x = \frac{1}{n}$ 为第一类间断点.
因为 $f\left( x\right) = \left\lbrack \frac{1}{x}\right\rbrack \left( {x > 0}\right)$ 为单调递减函数,所以广义极限 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0 + 0}}f\left( x\right)$ 存在. 而 $\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}f\left( \frac{1}{n}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}n = + \infty$ ,故有 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0 + 0}}f\left( x\right) = + \infty$ . 因此, $x = 0$ 为第二类间断点 (虽然 $x = 0$ 不属于 $f\left( x\right)$ 的定义域,我们也可讨论它的间断性).