方企勤 第一章 分析基础 第1题

教材习题

📝 题目

例 1 求证: 方程 ${x}^{3} + {px} + q = 0\left( {p > 0}\right)$ 有且仅有一个根.

💡 答案解析

证 考虑 $f\left( x\right) = {x}^{3} + {px} + q = 0$ . 因为 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = + \infty$ ,所以 $\exists b > 0$ ,使得 $f\left( b\right) > 0$ . 又 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow - \infty }}f\left( x\right) = - \infty$ ,所以 $\exists a < 0$ ,使得 $f\left( a\right)$ $< 0$ . 由介值定理, $\exists c \in \left( {a,b}\right)$ ,使得 $f\left( c\right) = 0$ ,即 ${c}^{3} + {pc} + q = 0$ . 由 $p > 0$ ,对 $\forall {x}_{2} > {x}_{1}$ ,有

$$ f\left( {x}_{2}\right) - f\left( {x}_{1}\right) = {x}_{2}^{3} - {x}_{1}^{3} + p\left( {{x}_{2} - {x}_{1}}\right) $$

$$ = \left( {{x}_{2} - {x}_{1}}\right) \left( {{x}_{2}^{2} + {x}_{1}{x}_{2} + {x}_{1}^{2}}\right) + p\left( {{x}_{2} - {x}_{1}}\right) $$

$$ \text{ (因为 }{x}_{1}{x}_{2} \geq - \frac{{x}_{1}^{2} + {x}_{2}^{2}}{2}\text{ ) } $$

$$ \geq \left( {{x}_{2} - {x}_{1}}\right) \left( {\frac{{x}_{1}^{2} + {x}_{2}^{2}}{2} + p}\right) > 0, $$

即函数 $f\left( x\right)$ 是单调递增的,因此只有一个根.

📋 详细解题步骤

步骤 1/2
目标：证明存在性
考虑函数 f(x)=x^3+px+q，由于 p>0，当 x→+∞ 时 f(x)→+∞，所以存在 b>0 使得 f(b)>0；当 x→-∞ 时 f(x)→-∞，所以存在 a<0 使得 f(a)<0。由介值定理，存在 c∈(a,b) 使得 f(c)=0，即方程至少有一个根。
公式：\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty,\quad \lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty
提示：利用极限和介值定理证明根的存在性。
步骤 2/2
目标：证明唯一性
对任意 x2>x1，计算 f(x2)-f(x1) = (x2^3-x1^3)+p(x2-x1) = (x2-x1)(x2^2+x1x2+x1^2)+p(x2-x1)。由于 x1x2 ≥ -(x1^2+x2^2)/2，所以 x2^2+x1x2+x1^2 ≥ (x1^2+x2^2)/2，因此 f(x2)-f(x1) ≥ (x2-x1)((x1^2+x2^2)/2 + p) > 0，故 f(x) 严格单调递增，从而方程至多有一个根。结合存在性，有且仅有一个根。
公式：f(x_2)-f(x_1) = (x_2-x_1)(x_2^2+x_1x_2+x_1^2)+p(x_2-x_1) \geq (x_2-x_1)\left(\frac{x_1^2+x_2^2}{2}+p\right) > 0
提示：利用不等式 x1x2 ≥ -(x1^2+x2^2)/2 证明单调性。

📷 拍照上传批改

拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。
← 第28题 返回列表 第2题 →