方企勤 第一章 分析基础 第4题

教材习题

📝 题目

例 4 若 $f\left( x\right)$ 在 $\left( {-\infty , + \infty }\right)$ 内连续,且 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}f\left( x\right)$ 存在. 求证: $f\left( x\right)$ 在 $\left( {-\infty , + \infty }\right)$ 内有界.

💡 答案解析

证 设 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}f\left( x\right) = A$ ,则对 $\varepsilon = 1$ ,存在 $X > 0$ ,使得当 $x > X$ 时, $\left| {f\left( x\right) - A}\right| < 1$ ,即有 $A - 1 < f\left( x\right) < A + 1\left( {\forall x\text{ ,只要 }\left| x\right| > X}\right)$ . 又因为 $f\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {-X,X}\right\rbrack$ 上连续,所以存在 ${M}_{1} > 0$ ,使得

$$ \left| {f\left( x\right) }\right| \leq {M}_{1}\;\left( {\forall x \in \left\lbrack {-X,X}\right\rbrack }\right) . $$

取 $\displaystyle{M = \max \left\{ {\left| {A - 1}\right| ,\left| {A + 1}\right| ,{M}_{1}}\right\}}$ ,则有

$$ \left| {f\left( x\right) }\right| \leq M,\;\forall x \in \left( {-\infty , + \infty }\right) , $$

即 $f\left( x\right)$ 在 $\left( {-\infty , + \infty }\right)$ 内有界.

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：利用极限定义得到函数在无穷远处的有界性
设极限为A，取ε=1，存在X>0，使得当|x|>X时，|f(x)-A|<1，从而A-1
公式：\lim_{x\to\infty}f(x)=A \Rightarrow \forall\varepsilon>0,\exists X>0,\forall|x|>X,|f(x)-A|<\varepsilon
提示：注意这里x趋于无穷包括正负无穷，因此条件对|x|>X成立。
步骤 2/3
目标：利用闭区间上连续函数的有界性得到局部有界
由于f(x)在[-X,X]上连续，根据有界性定理，存在M1>0，使得对任意x∈[-X,X]，有|f(x)|≤M1。
公式：f\in C[a,b]\Rightarrow f\text{有界}
提示：闭区间上连续函数必有界，这是经典结论。
步骤 3/3
目标：综合两部分得到整体有界
取M=max{|A-1|,|A+1|,M1}，则对任意x∈(-∞,+∞)，有|f(x)|≤M，即f(x)在R上有界。
公式：M=\max\{|A-1|,|A+1|,M_1\}
提示：注意M要取三者中的最大值，确保覆盖所有x。

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