方企勤 第二章 一元函数微分学 第10题
📝 题目
例 10 求 $f\left( x\right) = \frac{1}{{a}^{2} - {b}^{2}{x}^{2}}\left( {a \neq 0}\right)$ 的 $n$ 阶导数.
💡 答案解析
解 $f\left( x\right) = \frac{1}{{a}^{2} - {b}^{2}{x}^{2}} = \frac{1}{2a}\left( {\frac{1}{a + {bx}} + \frac{1}{a - {bx}}}\right)$ ,
$$ {f}^{\prime }\left( x\right) = \frac{b}{2a}\left( {\frac{1}{{\left( a - bx\right) }^{2}} + \frac{-1}{{\left( a + bx\right) }^{2}}}\right) , $$
$$ {f}^{\prime \prime }\left( x\right) = \frac{2!{b}^{2}}{2a}\left( {\frac{1}{{\left( a - bx\right) }^{3}} + \frac{{\left( -1\right) }^{2}}{{\left( a + bx\right) }^{3}}}\right) , $$
$$ {f}^{\left( n\right) }\left( x\right) = \frac{n!{b}^{n}}{2a}\left( {\frac{1}{{\left( a - bx\right) }^{n + 1}} + \frac{{\left( -1\right) }^{n}}{{\left( a + bx\right) }^{n + 1}}}\right) . $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将有理函数分解为部分分式之和
利用平方差公式，将分母分解为 (a-bx)(a+bx)，然后设 \(\frac{1}{a^2-b^2x^2} = \frac{A}{a+bx} + \frac{B}{a-bx}\)，解得 \(A = B = \frac{1}{2a}\)，从而得到 \(f(x) = \frac{1}{2a}\left(\frac{1}{a+bx} + \frac{1}{a-bx}\right)\)。
公式：\frac{1}{a^2-b^2x^2} = \frac{1}{2a}\left(\frac{1}{a+bx} + \frac{1}{a-bx}\right)
提示：注意 a≠0，且分解时系数要正确。
步骤 2/4
目标：求一阶导数
对分解后的表达式求导，利用 \(\frac{d}{dx}\frac{1}{a\pm bx} = \mp\frac{b}{(a\pm bx)^2}\)，得到 \(f'(x) = \frac{b}{2a}\left(\frac{1}{(a-bx)^2} - \frac{1}{(a+bx)^2}\right)\)。
公式：\frac{d}{dx}\frac{1}{a\pm bx} = \mp\frac{b}{(a\pm bx)^2}
提示：注意符号：对 \(\frac{1}{a+bx}\) 求导得 \(-\frac{b}{(a+bx)^2}\)，对 \(\frac{1}{a-bx}\) 求导得 \(+\frac{b}{(a-bx)^2}\)。
步骤 3/4
目标：求二阶导数
对一阶导数再次求导，利用 \(\frac{d}{dx}\frac{1}{(a\pm bx)^2} = \mp\frac{2b}{(a\pm bx)^3}\)，得到 \(f''(x) = \frac{2!b^2}{2a}\left(\frac{1}{(a-bx)^3} + \frac{(-1)^2}{(a+bx)^3}\right)\)。
公式：\frac{d}{dx}\frac{1}{(a\pm bx)^k} = \mp\frac{kb}{(a\pm bx)^{k+1}}
提示：注意二阶导数中两项符号相同，因为 (-1)^2=1。
步骤 4/4
目标：归纳n阶导数公式
观察一阶和二阶导数规律，归纳出n阶导数为 \(f^{(n)}(x) = \frac{n!b^n}{2a}\left(\frac{1}{(a-bx)^{n+1}} + \frac{(-1)^n}{(a+bx)^{n+1}}\right)\)。
公式：f^{(n)}(x) = \frac{n!b^n}{2a}\left(\frac{1}{(a-bx)^{n+1}} + \frac{(-1)^n}{(a+bx)^{n+1}}\right)
提示：注意符号：当n为偶数时两项同号，n为奇数时异号。
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