方企勤 第二章 一元函数微分学 第14题
📝 题目
例 14 如图 2.1 所示的欧姆计电路, 其中 G 表示电流计. 当测量未知电阻 $r$ 时,设观测刻度的误差不变. 求证: 当 $r = R$ 时,测量电阻的相对误差最小.
💡 答案解析
证 测量电阻 $r$ 是通过显示在电流计 $\mathrm{G}$ 上的电流值来实现的. 设 $\mathrm{G}$ 的满度电流为 ${I}_{0}$ ,则 ${I}_{0} = \frac{E}{R}$ . 接上电阻 $r$ 后,流经 $\mathrm{G}$ 的电流为
$$ I = \frac{E}{R + r} \Rightarrow \frac{I}{{I}_{0}} = \frac{R}{R + r} = \frac{1}{1 + \frac{r}{R}}. $$
\begin{center} \includegraphics[max width=0.2\textwidth]{images/006.jpg} \end{center} \hspace*{3em}
图 2.1
若记 $x = \frac{r}{R}$ ,则 $f\left( x\right) \frac{\text{ 定义 }}{}\frac{I}{{I}_{0}} = \frac{1}{1 + x}$ 是决定电阻表盘刻度的函数. 由 $\mathrm{d}f\left( x\right) =$ $- \frac{\mathrm{d}x}{{\left( 1 + x\right) }^{2}}$ ,可知测量 $r$ 的相对误差为
$$ \left| \frac{\mathrm{d}r}{r}\right| = \left| \frac{\mathrm{d}x}{x}\right| = \frac{{\left( 1 + x\right) }^{2}}{x}\left| {\mathrm{d}f}\right| = {\left( \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right) }^{2}\left| {\mathrm{d}f}\right| \geq 4\left| {\mathrm{\;d}f}\right| . $$
此处等号成立,当且仅当 $x = 1$ . 由此可见,如果观测刻度的误差不变,即 $\left| {\mathrm{d}f}\right|$ 一定,则当 $x = 1$ 时,即当 $r = R$ 时,测量电阻的相对误差最小.
评注 本题说明,只有对 $R$ 附近的 $r$ 才能保证测量时的相对误差较小,这就是欧姆计要分档的道理.