方企勤 第二章 一元函数微分学 第4题

教材习题

📝 题目

例 4 设 ${f}^{\prime }\left( x\right)$ 在点 $x = a$ 处的右极限存在且有限. 求证: $f\left( x\right)$ 在点 $x = a$ 处的右极限也存在且有限.

💡 答案解析

证 因为 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a + 0}}{f}^{\prime }\left( x\right)$ 存在且有限,所以存在 $\delta > 0$ ,使得 ${f}^{\prime }\left( x\right)$ 在 $\left( {a,a + {\delta }_{1}}\right)$ 内有界. 设 $\left| {{f}^{\prime }\left( x\right) }\right| \leq M\left( {\forall x \in \left( {a,a + {\delta }_{1}}\right) }\right)$ . 则对任意给定的 $\varepsilon > 0$ ,取 $\displaystyle{\delta = \min \left\{ {\frac{\varepsilon }{M},{\delta }_{1}}\right\}}$ ,根据拉格朗日中值定理,对

$$ \forall {x}_{1},{x}_{2} \in \left( {a,a + \delta }\right) ,\;\exists \xi \in \left( {\min \left\{ {{x}_{1},{x}_{2}}\right\} ,\max \left\{ {{x}_{1},{x}_{2}}\right\} }\right) , $$

使得

$$ \left| \frac{f\left( {x}_{2}\right) - f\left( {x}_{1}\right) }{{x}_{2} - {x}_{1}}\right| = \left| {{f}^{\prime }\left( \xi \right) }\right| \leq M $$

$$ \Rightarrow \left| {f\left( {x}_{2}\right) - f\left( {x}_{1}\right) }\right| \leq M\left| {{x}_{2} - {x}_{1}}\right| \leq \varepsilon . $$

故由柯西收敛原理知 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a + 0}}f\left( x\right)$ 存在且有限.

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：利用导函数右极限存在推出导函数在右邻域内有界
因为 lim_{x→a+0} f'(x) 存在且有限，所以存在 δ1>0，使得 f'(x) 在 (a, a+δ1) 内有界。设 |f'(x)| ≤ M 对所有 x∈(a, a+δ1) 成立。
公式：lim_{x→a+0} f'(x) 存在 ⇒ ∃δ1>0, ∀x∈(a,a+δ1): |f'(x)|≤M
提示：由极限存在可推出局部有界性。
步骤 2/3
目标：应用拉格朗日中值定理建立函数值差与导数的关系
对任意给定的 ε>0，取 δ = min{ε/M, δ1}。则对任意 x1, x2 ∈ (a, a+δ)，存在 ξ 介于 x1, x2 之间，使得 |f(x2)-f(x1)|/|x2-x1| = |f'(ξ)| ≤ M，从而 |f(x2)-f(x1)| ≤ M|x2-x1| ≤ ε。
公式：|f(x2)-f(x1)| = |f'(ξ)||x2-x1| ≤ M|x2-x1| ≤ ε
提示：注意 δ 的取法保证 x1,x2 在导函数有界区间内，且距离足够小。
步骤 3/3
目标：由柯西收敛原理得出右极限存在且有限
由上述推导，对任意 ε>0，存在 δ>0，使得当 x1, x2 ∈ (a, a+δ) 时，|f(x2)-f(x1)| < ε。根据柯西收敛原理，lim_{x→a+0} f(x) 存在且有限。
公式：∀ε>0, ∃δ>0, ∀x1,x2∈(a,a+δ): |f(x2)-f(x1)|<ε ⇒ lim_{x→a+0} f(x) 存在
提示：柯西收敛原理是函数极限存在的充要条件。

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