方企勤 第二章 一元函数微分学 第8题

教材习题

📝 题目

例 8 设 $f\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ 上连续,在(0,1)内可导, $f\left( 0\right) = f\left( 1\right) =$ 0. 求证: 对于 $\forall {x}_{0} \in \left( {0,1}\right) ,\exists \xi \in \left( {0,1}\right)$ ,使得 ${f}^{\prime }\left( \xi \right) = f\left( {x}_{0}\right)$ .

💡 答案解析

证 令 $F\left( x\right) = f\left( x\right) - {xf}\left( {x}_{0}\right)$ ,则 $F\left( 0\right) = 0$ ,且

$$ F\left( {x}_{0}\right) = f\left( {x}_{0}\right) - {x}_{0}f\left( {x}_{0}\right) = \left( {1 - {x}_{0}}\right) f\left( {x}_{0}\right) , $$

$$ F\left( 1\right) = f\left( 1\right) - f\left( {x}_{0}\right) = - f\left( {x}_{0}\right) , $$

由此推出 $F\left( {x}_{0}\right) \cdot F\left( 1\right) = - \left( {1 - {x}_{0}}\right) {\left( f\left( {x}_{0}\right) \right) }^{2}$ .

下面分两种情况讨论:

第一种情况, $f\left( {x}_{0}\right) = 0$ . 根据罗尔定理,有

$$ \exists \xi \in \left( {0,{x}_{0}}\right) \subset \left( {0,1}\right) \text{ , } $$

使得 ${F}^{\prime }\left( \xi \right) = 0$ ,即得 ${f}^{\prime }\left( \xi \right) = f\left( {x}_{0}\right)$ ,从而本题得证.

第二种情况, $f\left( {x}_{0}\right) \neq 0$ . 则 $F\left( {x}_{0}\right)$ 与 $F\left( 1\right)$ 异号,于是根据连续函数的中间值定理, $\exists \eta \in \left( {{x}_{0},1}\right)$ ,使得 $F\left( \eta \right) = 0$ . 现在对 $F\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {0,\eta }\right\rbrack$ 上用罗尔定理,我们有

$$ \exists \xi \in \left( {0,\eta }\right) \subset \left( {0,1}\right) \text{ , } $$

使得 ${F}^{\prime }\left( \xi \right) = 0$ ,即得 ${f}^{\prime }\left( \xi \right) = f\left( {x}_{0}\right)$ ,从而本题也得证.

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：构造辅助函数
令 F(x) = f(x) - x f(x0)，则 F(0)=0，计算 F(x0) 和 F(1)。
公式：F(x) = f(x) - x f(x0)
提示：辅助函数通常由结论形式构造，这里目标是得到 F'(ξ)=0 从而导出 f'(ξ)=f(x0)。
步骤 2/4
目标：计算 F(x0) 和 F(1)
F(x0) = f(x0) - x0 f(x0) = (1-x0)f(x0)；F(1) = f(1) - f(x0) = -f(x0)。
公式：F(x0) = (1-x0)f(x0), F(1) = -f(x0)
提示：注意 f(0)=f(1)=0 的条件。
步骤 3/4
目标：分情况讨论：f(x0)=0
若 f(x0)=0，则 F(x)=f(x)，由罗尔定理，存在 ξ∈(0,x0)⊂(0,1) 使得 F'(ξ)=0，即 f'(ξ)=0=f(x0)。
公式：罗尔定理：若 F(0)=F(x0)=0，则存在 ξ∈(0,x0) 使 F'(ξ)=0
提示：注意区间端点函数值相等。
步骤 4/4
目标：分情况讨论：f(x0)≠0
若 f(x0)≠0，则 F(x0) 与 F(1) 异号，由介值定理，存在 η∈(x0,1) 使 F(η)=0。再对 F(x) 在 [0,η] 上用罗尔定理，存在 ξ∈(0,η)⊂(0,1) 使 F'(ξ)=0，即 f'(ξ)=f(x0)。
公式：介值定理：若 F(x0)F(1)<0，则存在 η∈(x0,1) 使 F(η)=0；罗尔定理：若 F(0)=F(η)=0，则存在 ξ∈(0,η) 使 F'(ξ)=0
提示：注意 F(0)=0 始终成立。

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