方企勤 第二章 一元函数微分学 第5题
📝 题目
例 5 求下列函数在 $x > 0$ 上的最小值:
(1) $f\left( x\right) = \ln x + \frac{1}{x}$ ; (2) $g\left( x\right) = x{\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}}$ .
💡 答案解析
解 (1) 由 ${f}^{\prime }\left( x\right) = \frac{1}{x} - \frac{1}{{x}^{2}} = \frac{x - 1}{{x}^{2}} = 0$ 得驻点 $x = 1$ . 因为
$$ {f}^{\prime }\left( x\right) \left( {x - 1}\right) = {\left( \frac{x - 1}{x}\right) }^{2} > 0\;\left( {x \neq 1}\right) , $$
所以 $x = 1$ 为函数 $f\left( x\right)$ 的最小点,最小值为 $f\left( 1\right) = 1$ . 或考查
$$ {f}^{\prime \prime }\left( x\right) = - \frac{1}{{x}^{2}} + \frac{1}{{x}^{3}},\;{f}^{\prime }\left( 1\right) = 0,\;{f}^{\prime \prime }\left( 1\right) = 1 > 0, $$
故 $x = 1$ 为函数 $f\left( x\right)$ 的最小点.
(2)注意到 $\ln g\left( x\right) = f\left( x\right)$ 及 $\ln g\left( x\right)$ 与 $g\left( x\right)$ 有相同的最小点. 利用第 (1) 小题知 $g\left( x\right)$ 的最小值为 $g\left( 1\right) = \mathrm{e}$ .