方企勤 第二章 一元函数微分学 第7题
📝 题目
例 7 设 $f\left( x\right)$ 是偶函数,且 ${f}^{\prime }\left( 0\right)$ 存在. 求证: ${f}^{\prime }\left( 0\right) = 0$ .
💡 答案解析
证 令 $x = - t$ ,则当 $x \rightarrow 0$ 时, $t \rightarrow 0$ ,并由 $f\left( {-t}\right) = f\left( t\right)$ ,
$$ {f}^{\prime }\left( 0\right) = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{f\left( x\right) - f\left( 0\right) }{x} = \mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow 0}}\frac{f\left( {-t}\right) - f\left( 0\right) }{-t} $$
$$ = - \mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow 0}}\frac{f\left( t\right) - f\left( 0\right) }{t} = - {f}^{\prime }\left( 0\right) , $$
即得 ${f}^{\prime }\left( 0\right) = 0$ .
提问 本题如下证法对吗? 因为 $f\left( x\right)$ 是偶函数,所以 $f\left( x\right)$ 在点 $x = 0$ 处有极值,根据费马定理知 ${f}^{\prime }\left( 0\right) = 0$ .
解答 这证明是错误的. 因为只凭 $f\left( x\right)$ 是偶函数,一般推不出 $f\left( x\right)$ 在点 $x = 0$ 处有极值,例如函数 $f\left( x\right) = \left\{ \begin{array}{ll} {x}^{3}\sin \frac{1}{x}, & x \neq 0, \\ 0, & x = 0 \end{array}\right.$ 是偶函数,但在点 $x = 0$ 处没有极值.