方企勤 第二章 一元函数微分学 第10题
📝 题目
例 10 周长一定的等腰三角形中,腰与底成何比例时,它绕底边旋转所得旋转体的体积最大?
💡 答案解析
解 设周长为 ${2l}$ ,腰长为 $x$ ,底长为 ${2y}$ ,则有 ${2x} + {2y} = {2l}$ ,即 $y = l - x$ . 等腰三角形绕底边旋转所得旋转体是由这样两个同样的圆锥组成的,其中每个圆锥高为 $y = l - x$ ,底面半径为 $\sqrt{{x}^{2} - {\left( l - x\right) }^{2}}$ . 于是, 旋转体体积为
$$ V = \frac{2}{3}\pi \left\lbrack {{x}^{2} - {\left( l - x\right) }^{2}}\right\rbrack \left( {l - x}\right) $$
$$ \Rightarrow {V}^{\prime } = \frac{2}{3}\pi \left( {3{l}^{2} - {4lx}}\right) \text{ ,由 }{V}^{\prime } = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{4}l\text{ . } $$
由此推出 $y = l - x = \frac{1}{4}l$ ,及 $\frac{x}{2y} = \frac{3}{2}$ . 即腰与底的比为 $\frac{3}{2}$ 时,旋转体的体积最大.
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：建立变量关系
设周长为2l，腰长为x，底长为2y，由周长条件得2x+2y=2l，即y=l-x。
公式：2x+2y=2l, y=l-x
提示：注意底边长度设为2y便于后续计算。
步骤 2/5
目标：表达旋转体体积
等腰三角形绕底边旋转得到两个相同的圆锥，每个圆锥高为y=l-x，底面半径为√(x² - (l-x)²)。体积V=2*(1/3)πr²h = (2/3)π[x²-(l-x)²](l-x)。
公式：V = (2/3)π[x²-(l-x)²](l-x)
提示：圆锥体积公式V=(1/3)πr²h，注意有两个圆锥。
步骤 3/5
目标：化简体积表达式
展开并化简V的表达式：V = (2/3)π[(x²-(l²-2lx+x²))(l-x)] = (2/3)π[(2lx-l²)(l-x)] = (2/3)π[l(2x-l)(l-x)]。
公式：V = (2/3)π l (2x-l)(l-x)
提示：注意代数化简的准确性。
步骤 4/5
目标：求导并找到极值点
对V关于x求导：V' = (2/3)π l [2(l-x) - (2x-l)] = (2/3)π l (2l-2x-2x+l) = (2/3)π l (3l-4x)。令V'=0得x=3l/4。
公式：V' = (2/3)π l (3l-4x), 令V'=0得x=3l/4
提示：求导时注意常数因子，并检查导数符号确定最大值。
步骤 5/5
目标：计算腰与底的比例
由x=3l/4得y=l-x=l/4，底长为2y=l/2，腰长x=3l/4，故腰与底的比例为x/(2y)= (3l/4)/(l/2)=3/2。
公式：腰:底 = x:2y = 3:2
提示：比例化简为最简整数比。
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