方企勤 第二章 一元函数微分学 第12题
📝 题目
例 12 求椭圆 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} = 1$ 的内接矩形中面积最大的矩形.
💡 答案解析
解 设内接矩形的第一象限内的顶点为 $\left( {x,\frac{b}{a}\sqrt{{a}^{2} - {x}^{2}}}\right)$ ,则矩形面积为
$$ S\left( x\right) = {4x}\frac{b}{a}\sqrt{{a}^{2} - {x}^{2}}\;\left( {0 \leq x \leq a}\right) . $$
求 $S\left( x\right)$ 的最大值点等价于求 $f\left( x\right) = {x}^{2}\left( {{a}^{2} - {x}^{2}}\right)$ 的最大值点. 从
$$ {f}^{\prime }\left( x\right) = {2x}\left( {{a}^{2} - {x}^{2}}\right) - 2{x}^{3} = 0 \Rightarrow x = \frac{a}{\sqrt{2}}. $$
又
$$ f\left( x\right) = {x}^{2}\left( {{a}^{2} - {x}^{2}}\right) \leq {\left( \frac{{x}^{2} + {a}^{2} - {x}^{2}}{2}\right) }^{2} = {\left( \frac{{a}^{2}}{2}\right) }^{2} = f\left( \frac{a}{\sqrt{2}}\right) $$
$$ \left( {0 \leq x \leq a}\right) \text{ . } $$
即点 $x = \frac{a}{\sqrt{2}}$ 是函数 $f\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {0,a}\right\rbrack$ 内的最大值点,从而也是函数 $S\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {0,a}\right\rbrack$ 内的最大值点,故最大内接矩形的面积为
$$ S\left( \frac{a}{\sqrt{2}}\right) = {2ab}. $$