方企勤 第二章 一元函数微分学 第1题
📝 题目
例 1 设 $f\left( x\right)$ 为凹函数,且二次可导. 求证: $F\left( x\right) = {\mathrm{e}}^{f\left( x\right) }$ 也是凹函数.
💡 答案解析
证 因为 $f\left( x\right)$ 为凹函数,所以 ${f}^{\prime \prime }\left( x\right) \geq 0$ . 又
$$ {F}^{\prime }\left( x\right) = {f}^{\prime }\left( x\right) {\mathrm{e}}^{f\left( x\right) },\;{F}^{\prime \prime }\left( x\right) = {f}^{\prime \prime }\left( x\right) {\mathrm{e}}^{f\left( x\right) } + {\left( {f}^{\prime }\left( x\right) \right) }^{2}{\mathrm{e}}^{f\left( x\right) } \geq 0, $$
即得 $F\left( x\right)$ 为凹函数.
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用凹函数的二阶导数条件
由于f(x)是凹函数且二次可导，根据凹函数的性质，其二阶导数非负，即f''(x) ≥ 0。
公式：f''(x) ≥ 0
提示：凹函数的二阶导数非负是常用判定条件。
步骤 2/5
目标：计算F(x)的一阶导数
对F(x)=e^{f(x)}求导，得到F'(x)=f'(x)e^{f(x)}。
公式：F'(x) = f'(x) e^{f(x)}
提示：使用链式法则。
步骤 3/5
目标：计算F(x)的二阶导数
对F'(x)再次求导，得到F''(x)=f''(x)e^{f(x)} + [f'(x)]^2 e^{f(x)}。
公式：F''(x) = f''(x) e^{f(x)} + [f'(x)]^2 e^{f(x)}
提示：使用乘积法则和链式法则。
步骤 4/5
目标：判断F''(x)的符号
由于e^{f(x)} > 0，f''(x) ≥ 0，且[f'(x)]^2 ≥ 0，所以F''(x) ≥ 0。
公式：F''(x) ≥ 0
提示：非负数的和仍为非负数。
步骤 5/5
目标：得出结论
因为F''(x) ≥ 0，所以F(x)是凹函数。
提示：二阶导数非负是凹函数的充要条件（二次可导时）。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。