方企勤 第二章 一元函数微分学 第5题

教材习题

📝 题目

例 5 设 $1 < a < b,f\left( x\right) = \frac{1}{x} + \ln x$ ,求证:

$$ 0 < f\left( b\right) - f\left( a\right) \leq \frac{1}{4}\left( {b - a}\right) . $$

💡 答案解析

证 根据微分中值定理, $\exists \xi \in \left( {a,b}\right)$ ,使得

$$ f\left( b\right) - f\left( a\right) = {f}^{\prime }\left( \xi \right) \left( {b - a}\right) = \frac{\xi - 1}{{\xi }^{2}}\left( {b - a}\right) \;\left( {\xi > a > 1}\right) . $$

(6.8)

因为 (6.8) 式的右端 $> 0$ ,所以 $f\left( b\right) - f\left( a\right) > 0$ . 作辅助函数

$$ g\left( x\right) = \frac{x - 1}{{x}^{2}}\;\left( {x > 1}\right) . $$

因为

$$ {g}^{\prime }\left( x\right) = \frac{x\left( {2 - x}\right) }{{x}^{2}}\left\{ \begin{array}{ll} > 0 & \left( {1 < x < 2}\right) , \\ = 0 & \left( {x = 2}\right) , \\ < 0 & \left( {x > 2}\right) , \end{array}\right. $$

由此可见 $x = 2$ 是函数 $g\left( x\right)$ 在 $\left( {0, + \infty }\right)$ 内的惟一极值点,并且是极大值点. 从而 $x = 2$ 是函数 $g\left( x\right)$ 的最大值点. 于是 $g\left( x\right) \leq g\left( 2\right) = 1$ / 4. 于是本题结论成立.

评注 本题所构造的辅助函数,是将 (6.8) 式右端中的 $\xi$ 换为 $x$ 改造来的,辅助函数的定义域就是 $\xi$ 的取值范围. (6.8) 式右端每取一个 $\xi$ 值,都给出 (6.8) 式左端 $f\left( b\right) - f\left( a\right)$ 的一个估计,对所构造的辅助函数求极值、最值,目的就是在 $\xi$ 的一切取值范围内找出 (6.8) 式左端 $f\left( b\right) - f\left( a\right)$ 的最好估计.

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：应用微分中值定理
由于函数 f(x)=1/x+ln x 在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 内可导，根据微分中值定理，存在 ξ∈(a,b) 使得 f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)。计算 f'(x)=-1/x^2+1/x=(x-1)/x^2，因此 f(b)-f(a)=((ξ-1)/ξ^2)(b-a)。
公式：f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)=((ξ-1)/ξ^2)(b-a)
提示：注意 ξ>a>1，因此 ξ-1>0，从而 f(b)-f(a)>0。
步骤 2/4
目标：证明左边不等式
由 ξ>1 得 (ξ-1)/ξ^2>0，又 b-a>0，所以 f(b)-f(a)>0，即左边不等式成立。
提示：直接由正数乘积得到。
步骤 3/4
目标：构造辅助函数并求最大值
令 g(x)=(x-1)/x^2，x>1。求导得 g'(x)=(x(2-x))/x^4，分析符号：当 10；x=2 时 g'(x)=0；x>2 时 g'(x)<0。因此 g(x) 在 x=2 处取得极大值，也是最大值，最大值为 g(2)=1/4。
公式：g'(x)=x(2-x)/x^4
提示：注意定义域 x>1，极值点唯一。
步骤 4/4
目标：证明右边不等式
由于 ξ∈(a,b)⊂(1,+∞)，所以 g(ξ)≤1/4，即 (ξ-1)/ξ^2≤1/4。代入 f(b)-f(a)=((ξ-1)/ξ^2)(b-a)≤(1/4)(b-a)。
公式：f(b)-f(a)≤(1/4)(b-a)
提示：结合左边不等式即得证。

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