方企勤 第二章 一元函数微分学 第7题

教材习题

📝 题目

例 7 设 $0 < x < 1$ . 求证: $x{\mathrm{e}}^{-x} > \frac{1}{x}{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{x}}$ .

💡 答案解析

证 先证原不等式两边取对数得到的不等式, 即证

$$ \ln x - x > - \ln x - \frac{1}{x}\;\left( {0 < x < 1}\right) $$

或

$$ 2\ln x - x + \frac{1}{x} > 0\;\left( {0 < x < 1}\right) . \tag{6.11} $$

为此令 $f\left( x\right) = 2\ln x - x + \frac{1}{x}$ ,则有 $f\left( 1\right) = 0$ ,且

$$ {f}^{\prime }\left( x\right) = \frac{2}{x} - 1 - \frac{1}{{x}^{2}} = - \frac{{\left( x - 1\right) }^{2}}{{x}^{2}} < 0\left( {0 < x < 1}\right) \Rightarrow f\left( x\right) \downarrow $$

$$ \Rightarrow f\left( x\right) > f\left( 1\right) = 0\left( {0 < x < 1}\right) \Rightarrow \left( {6.11}\right) \text{ 式. } $$

再利用函数 ${\mathrm{e}}^{t}$ 的严格递增性,由不等式 (6.11) 推出

$$ {x}^{2}{\mathrm{e}}^{-x} \cdot {\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}} > 1\text{ ,即 }x{\mathrm{e}}^{-x} > \frac{1}{x}{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{x}}\;\left( {0 < x < 1}\right) . $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：对原不等式两边取自然对数，转化为等价不等式
由于指数函数严格递增，原不等式等价于两边取对数后的不等式：ln(x e^{-x}) > ln((1/x) e^{-1/x})，即 ln x - x > -ln x - 1/x，整理得 2 ln x - x + 1/x > 0。
公式：ln(x e^{-x}) = ln x - x, ln((1/x) e^{-1/x}) = -ln x - 1/x
提示：取对数是处理指数型不等式的常用技巧，注意定义域 x>0。
步骤 2/4
目标：构造函数并利用导数研究单调性
令 f(x) = 2 ln x - x + 1/x，定义域 (0,1)。求导得 f'(x) = 2/x - 1 - 1/x^2 = -(x-1)^2/x^2 < 0，因此 f(x) 在 (0,1) 上严格递减。
公式：f'(x) = 2/x - 1 - 1/x^2 = -(x-1)^2/x^2
提示：导数恒小于0说明函数严格递减，可用于比较函数值。
步骤 3/4
目标：利用单调性证明不等式
由于 f(x) 在 (0,1) 上递减，且 f(1)=0，所以对任意 x∈(0,1)，有 f(x) > f(1)=0，即 2 ln x - x + 1/x > 0。
公式：f(x) > f(1) = 0
提示：递减函数在区间内大于端点值。
步骤 4/4
目标：利用指数函数单调性还原原不等式
由 2 ln x - x + 1/x > 0 得 ln(x^2) + ln(e^{-x}) + ln(e^{1/x}) > 0，即 ln(x^2 e^{-x} e^{1/x}) > 0，所以 x^2 e^{-x} e^{1/x} > 1，即 x e^{-x} > (1/x) e^{-1/x}。
公式：x^2 e^{-x} e^{1/x} > 1 ⇒ x e^{-x} > (1/x) e^{-1/x}
提示：利用指数函数严格递增，从对数不等式还原。

📷 拍照上传批改

拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。
← 第6题 返回列表 第8题 →