方企勤 第二章 一元函数微分学 第14题

教材习题

📝 题目

例 14 求证: 方程 ${x}^{2} = x\sin x + \cos x$ 恰好只有两个不同的实数根.

\begin{center} \end{center} \hspace*{3em}

图 2.8

💡 答案解析

解 令 $f\left( x\right) = {x}^{2} - x\sin x - \cos x$ ,注意到 $f\left( x\right)$ 是偶函数,只需证在 $\left( {0, + \infty }\right)$ 上恰有一个根. 事实上, 因为

$$ f\left( 0\right) = - 1, $$

$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}{x}^{2}\left( {1 - \frac{\sin x}{x} - \frac{\cos x}{{x}^{2}}}\right) = + \infty , $$

所以 $f\left( x\right) = 0$ 在 $\left( {0, + \infty }\right)$ 上有一个根. 又

$$ {f}^{\prime }\left( x\right) = x\left( {2 - \cos x}\right) > 0\;\left( {\forall x > 0}\right) , $$

即函数 $f\left( x\right)$ 在 $\left( {0, + \infty }\right)$ 上严格单调增加,故 $f\left( x\right) = 0$ 在 $\left( {0, + \infty }\right)$ 上有且只有一个根. 如图 2.8 所示.

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：构造函数并利用奇偶性简化问题
令 f(x) = x^2 - x sin x - cos x，注意到 f(x) 是偶函数，因此只需证明在 (0, +∞) 上恰有一个根。
公式：f(x) = x^2 - x sin x - cos x
提示：偶函数性质：若 f 是偶函数，则 f(x)=0 的根关于原点对称，正负根成对出现（零根单独）。
步骤 2/4
目标：证明存在性：在 (0, +∞) 上至少有一个根
计算 f(0) = -1 < 0，且当 x→+∞ 时，f(x) = x^2(1 - sin x/x - cos x/x^2) → +∞。由连续函数的介值定理，存在至少一个根。
公式：f(0) = -1, lim_{x→+∞} f(x) = +∞
提示：利用极限和函数值异号，结合连续函数零点定理。
步骤 3/4
目标：证明唯一性：在 (0, +∞) 上严格单调
求导得 f'(x) = x(2 - cos x)。由于对任意 x>0，有 2 - cos x ≥ 1 > 0，故 f'(x) > 0，因此 f(x) 在 (0, +∞) 上严格单调递增，从而至多有一个根。结合存在性，恰有一个根。
公式：f'(x) = x(2 - cos x) > 0 (x > 0)
提示：导数恒正说明函数严格递增，零点唯一。
步骤 4/4
目标：综合结论
由偶函数性质，f(x)=0 在 (-∞,0) 上也有一个对称的根，且 x=0 不是根（f(0)=-1≠0），因此方程恰好有两个不同的实数根。
提示：注意偶函数根成对出现，且零根需单独判断。

📷 拍照上传批改

拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。
← 第13题 返回列表 第15题 →