方企勤 第三章 一元函数积分学 第1题
📝 题目
例 1 求下列不定积分:
(1) $\displaystyle \int \frac{{\left( x - 1\right) }^{2}}{\sqrt{x}}\mathrm{\;d}x$ ; (2) $\displaystyle \int {\left( {\mathrm{e}}^{x} + {\mathrm{e}}^{-x}\right) }^{2}\mathrm{\;d}x$ .
💡 答案解析
解 (1) 原式 $= \int \left( {{x}^{\frac{3}{2}} - 2{x}^{\frac{1}{2}} + {x}^{-\frac{1}{2}}}\right) \mathrm{d}x$
$$ = 2\sqrt{x} - \frac{4}{3}{x}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5}{x}^{\frac{5}{2}} + C. $$
(2)原式 $= \int \left( {{\mathrm{e}}^{2x} + 2 + {\mathrm{e}}^{-{2x}}}\right) \mathrm{d}x$
$$ = \frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-{2x}}\left( {{\mathrm{e}}^{4x} + {4x}{\mathrm{e}}^{2x} - 1}\right) + C. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：展开被积函数并化简
将 (x-1)^2 展开为 x^2 - 2x + 1，然后除以 √x 得到 x^(3/2) - 2x^(1/2) + x^(-1/2)。
公式：(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1
提示：注意指数运算：x^2 / √x = x^(3/2)
步骤 2/6
目标：逐项积分
对每一项分别积分：∫ x^(3/2) dx = (2/5)x^(5/2)，∫ -2x^(1/2) dx = - (4/3)x^(3/2)，∫ x^(-1/2) dx = 2√x。
公式：∫ x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C (n ≠ -1)
提示：注意积分常数 C 不要遗漏
步骤 3/6
目标：合并结果
将各项积分结果相加，并加上常数 C。
提示：最终结果可以按幂次降序排列
步骤 4/6
目标：展开被积函数并化简
将 (e^x + e^{-x})^2 展开为 e^(2x) + 2 + e^(-2x)。
公式：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
提示：注意 e^x * e^{-x} = 1
步骤 5/6
目标：逐项积分
对每一项分别积分：∫ e^(2x) dx = (1/2)e^(2x)，∫ 2 dx = 2x，∫ e^(-2x) dx = - (1/2)e^(-2x)。
公式：∫ e^(kx) dx = (1/k)e^(kx) + C
提示：注意 e^(-2x) 的积分系数为 -1/2
步骤 6/6
目标：合并结果
将各项积分结果相加，并加上常数 C。可化简为 (1/2)e^(2x) + 2x - (1/2)e^(-2x) + C，或写成 (1/2)e^(-2x)(e^(4x) + 4x e^(2x) - 1) + C。
提示：两种形式等价，可根据需要选择
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。