方企勤 第三章 一元函数积分学 第4题
📝 题目
例 4 求不定积分 $\displaystyle{\int \frac{\mathrm{d}x}{1 + \sin x}}$ .
💡 答案解析
解法 1 原式 $= \int \frac{\mathrm{d}x}{1 + \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x}\right) } = - \int \frac{\mathrm{d}\left( {\frac{\pi }{4} - \frac{x}{2}}\right) }{{\cos }^{2}\left( {\frac{\pi }{4} - \frac{x}{2}}\right) }$
$$ = - \tan \left( {\frac{\pi }{4} - \frac{x}{2}}\right) + C. $$
解法 2 原式 $\displaystyle{= \int \frac{1 - \sin x}{{\cos }^{2}x}\mathrm{\;d}x = \tan x - \frac{1}{\cos x} + C}$ .
解法 3 原式 $= \int \frac{\mathrm{d}x}{{\left( \cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}\right) }^{2}} = 2\int \frac{\mathrm{d}\tan \frac{x}{2}}{{\left( 1 + \tan \frac{x}{2}\right) }^{2}}$
$$ = - \frac{2}{1 + \tan \frac{x}{2}} + C\text{ . } $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：利用三角恒等变换将分母化为余弦形式
将 sin x 转化为 cos(π/2 - x)，则分母变为 1 + cos(π/2 - x)。
公式：sin x = cos(π/2 - x)
提示：注意角度变换的符号
步骤 2/3
目标：利用半角公式化简积分
令 u = π/4 - x/2，则 dx = -2 du，且 1 + cos(π/2 - x) = 2 cos^2(π/4 - x/2)，代入后积分化为 -∫ du / cos^2 u = -∫ sec^2 u du。
公式：1 + cos θ = 2 cos^2(θ/2)；∫ sec^2 u du = tan u + C
提示：注意 du 与 dx 的转换关系
步骤 3/3
目标：积分并回代变量
积分得 -tan u + C，回代 u = π/4 - x/2，得到 -tan(π/4 - x/2) + C。
公式：∫ sec^2 u du = tan u + C
提示：最终结果可化简为其他形式
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