方企勤 第三章 一元函数积分学 第12题
📝 题目
例 12 求不定积分 $\displaystyle \int \ln \left( {x + \sqrt{1 + {x}^{2}}}\right) \mathrm{d}x$ .
💡 答案解析
解 用分部积分法.
$$ \text{ 原式 } = x\ln \left( {x + \sqrt{1 + {x}^{2}}}\right) - \int \frac{x}{\sqrt{1 + {x}^{2}}}\mathrm{\;d}x $$
$$ = x\ln \left( {x + \sqrt{1 + {x}^{2}}}\right) - \sqrt{1 + {x}^{2}} + C. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：应用分部积分法
设 u = ln(x + √(1+x^2)), dv = dx, 则 du = 1/√(1+x^2) dx, v = x。分部积分得原式 = x ln(x + √(1+x^2)) - ∫ x/√(1+x^2) dx。
公式：∫ u dv = uv - ∫ v du
提示：注意 ln(x+√(1+x^2)) 的导数为 1/√(1+x^2)。
步骤 2/3
目标：计算剩余积分
计算 ∫ x/√(1+x^2) dx。令 t = 1+x^2, dt = 2x dx, 则 ∫ x/√(1+x^2) dx = 1/2 ∫ 1/√t dt = √t = √(1+x^2)。
公式：∫ x/√(1+x^2) dx = √(1+x^2) + C
提示：也可直接看出 (√(1+x^2))' = x/√(1+x^2)。
步骤 3/3
目标：写出最终结果
将积分结果代入，得原式 = x ln(x + √(1+x^2)) - √(1+x^2) + C。
提示：不要忘记积分常数 C。
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