方企勤 第三章 一元函数积分学 第14题

教材习题

📝 题目

例 14 求不定积分 $\displaystyle \int \frac{x{\mathrm{e}}^{\arctan x}}{{\left( 1 + {x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}\mathrm{\;d}x$ .

💡 答案解析

解法 1

$$ \int \frac{x{\mathrm{e}}^{\arctan x}}{{\left( 1 + {x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}\mathrm{\;d}x\overset{x = \tan t}{ = }\int \frac{{\mathrm{e}}^{t}\tan t}{{\left( {\tan }^{2}t + 1\right) }^{\frac{3}{2}}}{\sec }^{2}t\mathrm{\;d}t = \int {\mathrm{e}}^{t}\sin t\mathrm{\;d}t, $$

$$ I\overset{\text{ 定义 }}{ = }\int {\mathrm{e}}^{t}\sin t\mathrm{\;d}t = {\mathrm{e}}^{t}\sin t - \int {\mathrm{e}}^{t}\cos t\mathrm{\;d}t $$

$$ = {\mathrm{e}}^{t}\sin t - J \Rightarrow I + J = {\mathrm{e}}^{t}\sin t, $$

$$ J\frac{\text{ 定义 }}{}\int {\mathrm{e}}^{t}\cos t\mathrm{\;d}t = {\mathrm{e}}^{t}\cos t + \int {\mathrm{e}}^{t}\sin t\mathrm{\;d}t $$

$$ = {\mathrm{e}}^{t}\cos t + I \Rightarrow I - J = - {\mathrm{e}}^{t}\cos t. $$

因此 $I = \frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{t}\left( {\sin t - \cos t}\right) + C$ ,

$$ \int \frac{x{\mathrm{e}}^{\arctan x}}{{\left( 1 + {x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}\mathrm{\;d}x = I = \frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{\arctan x}\left( {\frac{x}{\sqrt{1 + {x}^{2}}} - \frac{1}{\sqrt{1 + {x}^{2}}}}\right) + C $$

$$ = \frac{\left( {x - 1}\right) {\mathrm{e}}^{\arctan x}}{2\sqrt{1 + {x}^{2}}} + C. $$

解法 2

$$ I = \int \frac{x{\mathrm{e}}^{\arctan x}}{{\left( 1 + {x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}\mathrm{\;d}x = \int \frac{x}{\sqrt{1 + {x}^{2}}}\mathrm{\;d}{\mathrm{e}}^{\arctan x} $$

$$ \overset{\text{ 分部积分 }}{ = }\frac{x{\mathrm{e}}^{\arctan x}}{\sqrt{1 + {x}^{2}}} - \int \frac{{\mathrm{e}}^{\arctan x}}{{\left( 1 + {x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}\mathrm{\;d}x $$

$$ = \frac{x{\mathrm{e}}^{\arctan x}}{\sqrt{1 + {x}^{2}}} - \int \frac{1}{\sqrt{1 + {x}^{2}}}\mathrm{\;d}{\mathrm{e}}^{\arctan x} $$

$$ = \frac{x{\mathrm{e}}^{\arctan x}}{\sqrt{1 + {x}^{2}}} - \frac{{\mathrm{e}}^{\arctan x}}{\sqrt{1 + {x}^{2}}} - I. $$

由此推出 $I = \frac{\left( {x - 1}\right) {\mathrm{e}}^{\arctan x}}{2\sqrt{1 + {x}^{2}}} + C$ .

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：使用换元法简化积分
令 x = tan t，则 dx = sec^2 t dt，且 1+x^2 = sec^2 t，代入原积分得 ∫ e^t tan t / (sec^3 t) * sec^2 t dt = ∫ e^t sin t dt。
公式：x = tan t, dx = sec^2 t dt, 1+x^2 = sec^2 t
提示：注意三角恒等式：tan^2 t + 1 = sec^2 t，且 sin t = tan t / sec t。
步骤 2/3
目标：计算积分 I = ∫ e^t sin t dt
使用分部积分法。设 I = ∫ e^t sin t dt，J = ∫ e^t cos t dt。先对 I 分部积分：令 u = sin t, dv = e^t dt，则 du = cos t dt, v = e^t，得 I = e^t sin t - ∫ e^t cos t dt = e^t sin t - J。再对 J 分部积分：令 u = cos t, dv = e^t dt，则 du = -sin t dt, v = e^t，得 J = e^t cos t + ∫ e^t sin t dt = e^t cos t + I。联立方程解得 I = (1/2)e^t (sin t - cos t) + C。
公式：分部积分公式：∫ u dv = uv - ∫ v du
提示：注意分部积分后得到关于 I 和 J 的方程组，解之即可。
步骤 3/3
目标：将结果代回原变量 x
由 x = tan t，得 sin t = x/√(1+x^2)，cos t = 1/√(1+x^2)，代入 I 得 (1/2)e^(arctan x) (x/√(1+x^2) - 1/√(1+x^2)) + C = (x-1)e^(arctan x)/(2√(1+x^2)) + C。
公式：sin t = x/√(1+x^2), cos t = 1/√(1+x^2), e^t = e^(arctan x)
提示：注意反函数关系：t = arctan x。

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