方企勤 第三章 一元函数积分学 第1题
📝 题目
例 1 求极限 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\sin \frac{k\pi }{n}}$ .
思路 把上面极限看成函数 $f\left( x\right) = \sin {\pi x}$ 在 $\left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ 上的黎曼和.
💡 答案解析
解 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\sin \frac{k\pi }{n} = {\int }_{0}^{1}\sin {\pi x}\mathrm{\;d}x = \frac{2}{\pi }}$ .
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：识别极限为黎曼和
将极限表达式与黎曼和定义对比：\(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \sin\frac{k\pi}{n}\) 可视为函数 \(f(x)=\sin(\pi x)\) 在区间 \([0,1]\) 上的黎曼和，其中分割点 \(x_k = k/n\)，取右端点。
公式：\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 f(x)\,dx
提示：注意 \(\sin\frac{k\pi}{n} = f(k/n)\)，其中 \(f(x)=\sin(\pi x)\)。
步骤 2/3
目标：转化为定积分
根据黎曼和定义，极限等于定积分 \(\int_0^1 \sin(\pi x)\,dx\)。
公式：\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sin\frac{k\pi}{n} = \int_0^1 \sin(\pi x)\,dx
提示：确认积分区间为 \([0,1]\)，被积函数为 \(\sin(\pi x)\)。
步骤 3/3
目标：计算定积分
计算 \(\int_0^1 \sin(\pi x)\,dx\)：原函数为 \(-\frac{1}{\pi}\cos(\pi x)\)，代入上下限得 \(-\frac{1}{\pi}(\cos\pi - \cos 0) = -\frac{1}{\pi}(-1-1) = \frac{2}{\pi}\)。
公式：\int_0^1 \sin(\pi x)\,dx = \left[-\frac{1}{\pi}\cos(\pi x)\right]_0^1 = \frac{2}{\pi}
提示：注意 \(\cos\pi = -1\)，\(\cos 0 = 1\)。
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