方企勤 第三章 一元函数积分学 第6题

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📝 题目

例 6 计算定积分 $I = {\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\cos x\mathrm{\;d}x}{{a}^{2}{\sin }^{2}x + {b}^{2}{\cos }^{2}x}\left( {a,b > 0}\right)$ .

💡 答案解析

解 当 $a = b$ 时, $\displaystyle{I = \frac{1}{{a}^{2}}{\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}\cos x\mathrm{\;d}x = \frac{1}{{a}^{2}}}$ ;

当 $a > b$ 时,

$$ I = {\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{d\sin x}{{a}^{2}{\sin }^{2}x + {b}^{2}\left( {1 - {\sin }^{2}x}\right) } $$

$$ = \frac{1}{\sqrt{{a}^{2} - {b}^{2}}}{\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{d\sqrt{{a}^{2} - {b}^{2}}\sin x}{{b}^{2} + \left( {{a}^{2} - {b}^{2}}\right) {\sin }^{2}x} $$

$$ = \frac{1}{\sqrt{{a}^{2} - {b}^{2}}} \cdot {\left. \frac{1}{b}\arctan \frac{\sqrt{{a}^{2} - {b}^{2}}\sin x}{b}\right| }_{0}^{\frac{\pi }{2}} $$

$$ = \frac{1}{b\sqrt{{a}^{2} - {b}^{2}}}\arctan \frac{\sqrt{{a}^{2} - {b}^{2}}}{b}; $$

当 $a < b$ 时,

$$ I = \frac{1}{\sqrt{{b}^{2} - {a}^{2}}}{\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{d\sqrt{{b}^{2} - {a}^{2}}\sin x}{{b}^{2} - \left( {{b}^{2} - {a}^{2}}\right) {\sin }^{2}x} $$

$$ = {\left. \frac{1}{{2b}\sqrt{{b}^{2} - {a}^{2}}}\ln \frac{b + \sqrt{{b}^{2} - {a}^{2}}\sin x}{b - \sqrt{{b}^{2} - {a}^{2}}\sin x}\right| }_{0}^{\frac{\pi }{2}} $$

$$ = \frac{1}{b\sqrt{{b}^{2} - {a}^{2}}}\ln \frac{b + \sqrt{{b}^{2} - {a}^{2}}}{a}. $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/6
目标：分情况讨论
由于被积函数分母含有参数a和b，需要根据a与b的大小关系分三种情况计算：a=b, a>b, a
提示：注意a,b>0，且分母恒正。
步骤 2/6
目标：情况1：a=b
当a=b时，分母变为a^2(sin^2 x+cos^2 x)=a^2，积分简化为I=∫_0^{π/2} cos x dx / a^2 = 1/a^2。
公式：I = \frac{1}{a^2} \int_0^{\pi/2} \cos x \, dx = \frac{1}{a^2}
提示：直接利用三角恒等式sin^2+cos^2=1。
步骤 3/6
目标：情况2：a>b，变量代换
令u=sin x，则du=cos x dx，积分限x从0到π/2对应u从0到1。分母化为a^2 u^2 + b^2(1-u^2) = b^2 + (a^2-b^2)u^2。
公式：I = \int_0^1 \frac{du}{b^2 + (a^2-b^2)u^2}
提示：注意cos x dx = du，且分母整理成平方和形式。
步骤 4/6
目标：情况2：积分计算
利用公式∫ du/(c^2+u^2) = (1/c) arctan(u/c)，这里c=b/√(a^2-b^2)，但更直接地：令v=√(a^2-b^2) u，则du=dv/√(a^2-b^2)，积分变为I=1/√(a^2-b^2) ∫_0^{√(a^2-b^2)} dv/(b^2+v^2) = 1/(b√(a^2-b^2)) arctan(√(a^2-b^2)/b)。
公式：I = \frac{1}{b\sqrt{a^2-b^2}} \arctan\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{b}
提示：注意积分限变换，arctan(0)=0。
步骤 5/6
目标：情况3：a
同样令u=sin x，分母化为b^2 - (b^2-a^2)u^2，即平方差形式。令v=√(b^2-a^2) u，则du=dv/√(b^2-a^2)，积分变为I=1/√(b^2-a^2) ∫_0^{√(b^2-a^2)} dv/(b^2 - v^2)。
公式：I = \frac{1}{\sqrt{b^2-a^2}} \int_0^{\sqrt{b^2-a^2}} \frac{dv}{b^2 - v^2}
提示：注意分母是平方差，使用公式∫ dv/(b^2-v^2) = (1/(2b)) ln|(b+v)/(b-v)|。
步骤 6/6
目标：情况3：积分计算
利用公式∫ dv/(b^2-v^2) = (1/(2b)) ln((b+v)/(b-v))，代入上下限得I = 1/(2b√(b^2-a^2)) [ln((b+√(b^2-a^2))/(b-√(b^2-a^2))) - ln(1)] = 1/(b√(b^2-a^2)) ln((b+√(b^2-a^2))/a)。
公式：I = \frac{1}{b\sqrt{b^2-a^2}} \ln\frac{b+\sqrt{b^2-a^2}}{a}
提示：注意化简：ln((b+√)/(b-√)) = 2 ln((b+√)/a)，因为a^2 = b^2 - (b^2-a^2) = (b-√)(b+√)。

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