方企勤 第三章 一元函数积分学 第8题

教材习题

📝 题目

例 8 设 $f\left( x\right) \in R\left\lbrack {a,b}\right\rbrack ,g\left( x\right)$ 与 $f\left( x\right)$ 只有有限个点上取值不等. 求证:

$$ g\left( x\right) \in R\left\lbrack {a,b}\right\rbrack \text{ ,且 }{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{a}^{b}g\left( x\right) \mathrm{d}x\text{ . } $$

💡 答案解析

证 令 $h\left( x\right) \overset{\text{ 定义 }}{ = }g\left( x\right) - f\left( x\right)$ ,则 $h\left( x\right)$ 只在有限个点上取非零值,所以

$$ h\left( x\right) \in R\left\lbrack {a,b}\right\rbrack ,\;\text{ 且 }\;{\int }_{a}^{b}h\left( x\right) \mathrm{d}x = 0. $$

又 $g\left( x\right) = f\left( x\right) + h\left( x\right)$ ,故有 $g\left( x\right) \in R\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ ,且

$$ {\int }_{a}^{b}g\left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x + {\int }_{a}^{b}h\left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x. $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：定义辅助函数h(x)
令 h(x) = g(x) - f(x)，则 h(x) 只在有限个点上取非零值。
公式：h(x) = g(x) - f(x)
提示：利用差值函数将问题转化为已知结论。
步骤 2/4
目标：证明h(x)可积且积分为0
由于 h(x) 只在有限个点上非零，因此 h(x) 在 [a,b] 上可积，且积分值为0。
公式：∫_a^b h(x) dx = 0
提示：有限个点不影响可积性和积分值。
步骤 3/4
目标：利用线性性质得到g(x)可积
由 g(x) = f(x) + h(x)，f(x) 可积，h(x) 可积，故 g(x) 可积。
公式：g(x) = f(x) + h(x)
提示：可积函数的和仍可积。
步骤 4/4
目标：计算积分并得出结论
∫_a^b g(x) dx = ∫_a^b f(x) dx + ∫_a^b h(x) dx = ∫_a^b f(x) dx。
公式：∫_a^b g(x) dx = ∫_a^b f(x) dx
提示：利用积分线性性质。

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