方企勤 第三章 一元函数积分学 第6题

教材习题

📝 题目

解( 1 )因为

$$ I = {\int }_{0}^{a}f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x = \frac{u - x}{}{\int }_{0}^{a}f\left( {a - u}\right) g\left( {a - u}\right) \mathrm{d}u $$

$$ \overset{\left( {3.4}\right) }{ = }k{\int }_{0}^{a}f\left( u\right) \mathrm{d}u - I, $$

所以

$$ I = \frac{1}{2}k{\int }_{0}^{a}f\left( x\right) \mathrm{d}x. $$

(2)令 $f\left( x\right) = \frac{\sin x}{1 + {\cos }^{2}x},g\left( x\right) = x$ ,显然, $f\left( x\right) ,g\left( x\right)$ 满足 (3.4) 式,所以

$$ {\int }_{0}^{\pi }\frac{x\sin x}{1 + {\cos }^{2}x}\mathrm{\;d}x = \frac{\pi }{2}{\int }_{0}^{\pi }\frac{\sin x}{1 + {\cos }^{2}x}\mathrm{\;d}x $$

$$ \overset{x = - \cos x}{ = }\frac{\pi }{2}{\int }_{-1}^{1}\frac{1}{1 + {u}^{2}}\mathrm{\;d}u = \frac{{\pi }^{2}}{4}. $$

💡 答案解析

解( 1 )因为

$$ I = {\int }_{0}^{a}f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x = \frac{u - x}{}{\int }_{0}^{a}f\left( {a - u}\right) g\left( {a - u}\right) \mathrm{d}u $$

$$ \overset{\left( {3.4}\right) }{ = }k{\int }_{0}^{a}f\left( u\right) \mathrm{d}u - I, $$

所以

$$ I = \frac{1}{2}k{\int }_{0}^{a}f\left( x\right) \mathrm{d}x. $$

(2)令 $f\left( x\right) = \frac{\sin x}{1 + {\cos }^{2}x},g\left( x\right) = x$ ,显然, $f\left( x\right) ,g\left( x\right)$ 满足 (3.4) 式,所以

$$ {\int }_{0}^{\pi }\frac{x\sin x}{1 + {\cos }^{2}x}\mathrm{\;d}x = \frac{\pi }{2}{\int }_{0}^{\pi }\frac{\sin x}{1 + {\cos }^{2}x}\mathrm{\;d}x $$

$$ \overset{x = - \cos x}{ = }\frac{\pi }{2}{\int }_{-1}^{1}\frac{1}{1 + {u}^{2}}\mathrm{\;d}u = \frac{{\pi }^{2}}{4}. $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：推导一般公式
设 I = ∫₀ᵃ f(x)g(x) dx，作变量代换 u = a - x，则 x = a - u，dx = -du，积分限变为 u: a→0，所以 I = ∫₀ᵃ f(a-u)g(a-u) du。利用条件 (3.4) 式，即 f(a-u)g(a-u) = k f(u) - f(u)g(u)，代入得 I = ∫₀ᵃ [k f(u) - f(u)g(u)] du = k∫₀ᵃ f(u) du - I，因此 2I = k∫₀ᵃ f(u) du，故 I = (k/2)∫₀ᵃ f(x) dx。
公式：I = (k/2)∫₀ᵃ f(x) dx
提示：注意变量代换后积分限的变化，以及利用条件 (3.4) 式将积分转化为关于 I 的方程。
步骤 2/3
目标：应用公式计算具体积分
令 f(x) = sin x / (1 + cos² x)，g(x) = x，a = π。验证满足 (3.4) 式：f(π-x)g(π-x) = (sin(π-x)/(1+cos²(π-x))) * (π-x) = (sin x/(1+cos² x)) * (π-x) = π f(x) - f(x)g(x)，故 k = π。由一般公式得 I = (π/2)∫₀^π f(x) dx = (π/2)∫₀^π sin x/(1+cos² x) dx。
公式：∫₀^π x sin x/(1+cos² x) dx = (π/2)∫₀^π sin x/(1+cos² x) dx
提示：验证条件 (3.4) 时，利用三角恒等式 sin(π-x)=sin x，cos(π-x)=-cos x。
步骤 3/3
目标：计算简化后的积分
计算 J = ∫₀^π sin x/(1+cos² x) dx。令 u = -cos x，则 du = sin x dx，x:0→π 时 u:-1→1，所以 J = ∫_{-1}^1 1/(1+u²) du = [arctan u]_{-1}^1 = π/4 - (-π/4) = π/2。因此原积分 I = (π/2)*(π/2) = π²/4。
公式：∫₀^π sin x/(1+cos² x) dx = π/2
提示：换元时注意积分限的对应，以及 arctan 函数的值。

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