方企勤 第三章 一元函数积分学 第9题

教材习题

📝 题目

例 9 设 ${f}^{\prime \prime }\left( x\right) > 0\left( {\forall x \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack }\right)$ ,求证 $\displaystyle{\int }_{0}^{1}f\left( {x}^{\lambda }\right) \mathrm{d}x \geq f\left( \frac{1}{\lambda + 1}\right)$ , 其中 $\lambda$ 为任意正实数.

💡 答案解析

证法 1 由题设条件, $f\left( u\right)$ 在 $\left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ 上是凹函数,从而曲线 $y = f\left( u\right)$ 在 $u = \frac{1}{\lambda + 1}$ 处的切线上方,即有

$$ f\left( u\right) \geq f\left( \frac{1}{\lambda + 1}\right) + {f}^{\prime }\left( \frac{1}{\lambda + 1}\right) \left( {u - \frac{1}{\lambda + 1}}\right) \;\left( {\forall u \in \left( {0,1}\right) }\right) . $$

(3.9)

注意到 $x \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \Rightarrow {x}^{\lambda } \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ ,令 $u = {x}^{\lambda }$ 并代入 (3.9) 式,我们有

$$ f\left( {x}^{\lambda }\right) \geq f\left( \frac{1}{\lambda + 1}\right) + {f}^{\prime }\left( \frac{1}{\lambda + 1}\right) \left( {{x}^{\lambda } - \frac{1}{\lambda + 1}}\right) \;\left( {\forall x \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack }\right) , $$

从而

$$ {\int }_{0}^{1}f\left( {x}^{\lambda }\right) \mathrm{d}x \geq f\left( \frac{1}{\lambda + 1}\right) + {f}^{\prime }\left( \frac{1}{\lambda + 1}\right) {\int }_{0}^{1}\left( {{x}^{\lambda } - \frac{1}{\lambda + 1}}\right) \mathrm{d}x $$

$$ = f\left( \frac{1}{\lambda + 1}\right) \text{ . } $$

证法 ${2f}\left( u\right)$ 在 $u = \frac{1}{\lambda + 1}$ 处的二阶泰勒展开式为

$$ f\left( u\right) = f\left( \frac{1}{\lambda + 1}\right) + {f}^{\prime }\left( \frac{1}{\lambda + 1}\right) \left( {u - \frac{1}{\lambda + 1}}\right) $$

$$ + \frac{{f}^{\prime \prime }\left( \xi \right) }{2!}{\left( u - \frac{1}{\lambda + 1}\right) }^{2}, \tag{3.10} $$

其中 $\xi$ 在 $u$ 与 $\frac{1}{\lambda + 1}$ 之间. 注意到 $x \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \Rightarrow {x}^{\lambda } \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ ,令 $u = {x}^{\lambda }$ 并代入 (3.10) 式, 我们有

$$ f\left( {x}^{\lambda }\right) = f\left( \frac{1}{\lambda + 1}\right) + {f}^{\prime }\left( \frac{1}{\lambda + 1}\right) \left( {{x}^{\lambda } - \frac{1}{\lambda + 1}}\right) $$

$$ + \frac{{f}^{\prime \prime }\left( \xi \right) }{2!}{\left( {x}^{\lambda } - \frac{1}{\lambda + 1}\right) }^{2}, $$

从而

$$ {\int }_{0}^{1}f\left( {x}^{\lambda }\right) \mathrm{d}x = f\left( \frac{1}{\lambda + 1}\right) + {f}^{\prime }\left( \frac{1}{\lambda + 1}\right) {\int }_{0}^{1}\left( {{x}^{\lambda } - \frac{1}{\lambda + 1}}\right) \mathrm{d}x $$

$$ + {\int }_{0}^{1}\frac{{f}^{\prime \prime }\left( \xi \right) }{2!}{\left( {x}^{\lambda } - \frac{1}{\lambda + 1}\right) }^{2}\mathrm{\;d}x $$

$$ \geq f\left( \frac{1}{\lambda + 1}\right) + {f}^{\prime }\left( \frac{1}{\lambda + 1}\right) {\int }_{0}^{1}\left( {{x}^{\lambda } - \frac{1}{\lambda + 1}}\right) \mathrm{d}x $$

$$ = f\left( \frac{1}{\lambda + 1}\right) \text{ . } $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：利用凹函数性质或泰勒展开得到不等式
由 f''(x)>0 知 f 是凹函数，故曲线在任意点切线上方。在 u=1/(λ+1) 处展开：f(u) ≥ f(1/(λ+1)) + f'(1/(λ+1))(u - 1/(λ+1))。
公式：f(u) ≥ f(1/(λ+1)) + f'(1/(λ+1))(u - 1/(λ+1))
提示：凹函数定义：二阶导大于0，切线在曲线下方。
步骤 2/3
目标：代入 u=x^λ 并积分
令 u=x^λ，则不等式变为 f(x^λ) ≥ f(1/(λ+1)) + f'(1/(λ+1))(x^λ - 1/(λ+1))。两边在[0,1]上积分。
公式：∫_0^1 f(x^λ) dx ≥ f(1/(λ+1)) + f'(1/(λ+1)) ∫_0^1 (x^λ - 1/(λ+1)) dx
提示：注意 x∈[0,1] 时 x^λ∈[0,1]。
步骤 3/3
目标：计算积分并化简
计算 ∫_0^1 x^λ dx = 1/(λ+1)，故 ∫_0^1 (x^λ - 1/(λ+1)) dx = 0，从而得到结论。
公式：∫_0^1 x^λ dx = 1/(λ+1)
提示：积分结果为零，因此不等式右边只剩 f(1/(λ+1))。

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