方企勤 第三章 一元函数积分学 第21题

教材习题

📝 题目

例 21 设 $f\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上连续、不恒等于常数,且

$$ f\left( a\right) = \mathop{\min }\limits_{{a \leq t \leq b}}f\left( t\right) = f\left( b\right) . $$

求证: $\exists \xi \in \left( {a,b}\right)$ ,使得

$$ {\int }_{a}^{\xi }f\left( x\right) \mathrm{d}x = \left( {\xi - a}\right) f\left( \xi \right) . $$

💡 答案解析

证 对 $\forall t \in \left( {a,b}\right)$ ,令

$$ F\left( t\right) = \left( {t - a}\right) f\left( t\right) - {\int }_{a}^{t}f\left( x\right) \mathrm{d}x. $$

为了证明本题,只要证明 $\exists \xi \in \left( {a,b}\right)$ ,使得 $F\left( \xi \right) = 0$ . 因为 $f\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上连续、不恒等于常数,且 $f\left( a\right) = \mathop{\min }\limits_{{a \leq t \leq b}}f\left( t\right) = f\left( b\right)$ ,所以 $\exists {t}_{0} \in$ (a, b),使得

$$ f\left( {t}_{0}\right) = \mathop{\max }\limits_{{a \leq t \leq b}}f\left( t\right) . $$

于是, 我们有

$$ F\left( {t}_{0}\right) = \left( {{t}_{0} - a}\right) f\left( {t}_{0}\right) - {\int }_{a}^{{t}_{0}}f\left( x\right) \mathrm{d}x $$

$$ > \left( {{t}_{0} - a}\right) f\left( {t}_{0}\right) - {\int }_{a}^{{t}_{0}}f\left( {t}_{0}\right) \mathrm{d}x = 0; $$

$$ F\left( b\right) = \left( {b - a}\right) f\left( b\right) - {\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x $$

$$ < \left( {b - a}\right) f\left( b\right) - {\int }_{a}^{b}f\left( b\right) \mathrm{d}x = 0, $$

从而 $F\left( b\right) < 0 < F\left( {t}_{0}\right)$ . 根据连续函数的中间值定理,有

$$ \exists \xi \in \left( {{t}_{0},b}\right) \subset \left( {a,b}\right) \;\text{ 使得 }\;F\left( \xi \right) = 0, $$

即得 $\displaystyle{\int }_{a}^{\xi }f\left( x\right) \mathrm{d}x = \left( {\xi - a}\right) f\left( \xi \right)$ .

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：构造辅助函数
定义函数 F(t) = (t - a)f(t) - ∫_a^t f(x) dx，其中 t ∈ (a, b)。则要证明存在 ξ ∈ (a, b) 使得 F(ξ) = 0。
公式：F(t) = (t - a)f(t) - ∫_a^t f(x) dx
提示：辅助函数通常由结论变形得到，注意积分上限与自变量的关系。
步骤 2/5
目标：利用条件找到最大值点
由 f 在 [a, b] 上连续且不恒等于常数，且 f(a) = f(b) 为最小值，故存在 t0 ∈ (a, b) 使得 f(t0) 为最大值。
公式：f(t0) = max_{a ≤ t ≤ b} f(t)
提示：最大值点存在性由连续函数的最值定理保证。
步骤 3/5
目标：证明 F(t0) > 0
计算 F(t0) = (t0 - a)f(t0) - ∫_a^{t0} f(x) dx。由于 f(x) ≤ f(t0) 且不恒等于 f(t0)（因为 f 不恒为常数），故 ∫_a^{t0} f(x) dx < ∫_a^{t0} f(t0) dx = (t0 - a)f(t0)，因此 F(t0) > 0。
公式：F(t0) = (t0 - a)f(t0) - ∫_a^{t0} f(x) dx > 0
提示：注意严格不等号成立是因为 f 不恒等于常数，从而在某个子区间上 f(x) < f(t0)。
步骤 4/5
目标：证明 F(b) < 0
计算 F(b) = (b - a)f(b) - ∫_a^b f(x) dx。由于 f(x) ≥ f(b) 且不恒等于 f(b)，故 ∫_a^b f(x) dx > ∫_a^b f(b) dx = (b - a)f(b)，因此 F(b) < 0。
公式：F(b) = (b - a)f(b) - ∫_a^b f(x) dx < 0
提示：f(b) 是最小值，所以 f(x) ≥ f(b)，且不恒等导致严格不等式。
步骤 5/5
目标：应用零点定理
由 F(t0) > 0 和 F(b) < 0，且 F 在 [t0, b] 上连续，根据连续函数的零点定理，存在 ξ ∈ (t0, b) ⊂ (a, b) 使得 F(ξ) = 0。
公式：F(ξ) = 0 ⇒ ∫_a^ξ f(x) dx = (ξ - a)f(ξ)
提示：零点定理要求函数在区间端点异号。

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