方企勤 第三章 一元函数积分学 第23题
📝 题目
例 23 设 $f\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ 上连续, $f\left( x\right) > 0$ . 求证:
(1) 存在惟一的 $a \in \left( {0,1}\right)$ ,使得 $\displaystyle{\int }_{0}^{a}f\left( t\right) \mathrm{d}t = {\int }_{a}^{1}\frac{1}{f\left( t\right) }\mathrm{d}t$ .
(2)对任意的自然数 $n$ ,存在惟一的 ${x}_{n} \in \left( {0,1}\right)$ ,使得
$$ {\int }_{\frac{1}{n}}^{{x}_{n}}f\left( t\right) \mathrm{d}t = {\int }_{{x}_{n}}^{1}\frac{1}{f\left( t\right) }\mathrm{d}t\text{ 且 }\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n} = a. $$
💡 答案解析
解 (1) 令 $F\left( x\right) = {\int }_{0}^{x}f\left( t\right) \mathrm{d}t - {\int }_{x}^{1}\frac{1}{f\left( t\right) }\mathrm{d}t$ ,则
$$ F\left( 0\right) = - {\int }_{0}^{1}\frac{1}{f\left( t\right) }\mathrm{d}t < 0,\;F\left( 1\right) = {\int }_{0}^{1}f\left( t\right) \mathrm{d}t > 0. $$
根据连续函数中间值定理,存在 $a \in \left( {0,1}\right)$ ,使得 $F\left( a\right) = 0$ . 又 ${F}^{\prime }\left( x\right)$ $= f\left( x\right) + \frac{1}{f\left( x\right) } > 0 \Rightarrow$ 函数 $F\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ 上严格 $\uparrow \Rightarrow$ 上述的 $a$ 惟一.
(2)令 ${F}_{n}\left( x\right) = {\int }_{\frac{1}{n}}^{x}f\left( t\right) \mathrm{d}t - {\int }_{x}^{1}\frac{1}{f\left( t\right) }\mathrm{d}t$ . 则
$$ {F}_{n}\left( \frac{1}{n}\right) = - {\int }_{\frac{1}{n}}^{1}\frac{1}{f\left( t\right) }\mathrm{d}t < 0,\;{F}_{n}\left( 1\right) = {\int }_{\frac{1}{n}}^{1}f\left( t\right) \mathrm{d}t > 0. $$
根据连续函数中间值定理,存在 ${x}_{n} \in \left( {\frac{1}{n},1}\right)$ ,使得 ${F}_{n}\left( {x}_{n}\right) = 0$ . 又对任意的自然数 $n,{F}_{n}^{\prime }\left( x\right) = f\left( x\right) + \frac{1}{f\left( x\right) } > 0 \Rightarrow$ 函数 ${F}_{n}\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ 上严格 $\uparrow \Rightarrow$ 上述的 ${x}_{n}$ 惟一.
注意到对任意的自然数 $n$ ,
$$ {F}_{n + 1}\left( x\right) - {F}_{n}\left( x\right) = {\int }_{\frac{1}{n + 1}}^{\frac{1}{n}}f\left( t\right) \mathrm{d}t > 0\left( {\forall x \in \left( {0,1}\right) }\right) $$
$$ \Rightarrow {F}_{n}\left( x\right) \text{ 对 }n\text{ 单调增加. } $$
于是再由 ${F}_{n}\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ 上严格单调增加,有
$$ {F}_{n}\left( {x}_{n}\right) = 0 = {F}_{n + 1}\left( {x}_{n + 1}\right) > {F}_{n}\left( {x}_{n + 1}\right) \Rightarrow {x}_{n} > {x}_{n + 1}. $$
即 ${x}_{n}$ 是单调下降的有界序列,从而可设 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n} = b}$ . 最后因为定积分是其上下限变量的连续函数,令 $\displaystyle{n \rightarrow \infty}$ ,则有
$$ {\int }_{\frac{1}{n}}^{{x}_{n}}f\left( t\right) \mathrm{d}t = {\int }_{{x}_{n}}^{1}\frac{1}{f\left( t\right) }\mathrm{d}t. $$
$$ \Rightarrow {\int }_{0}^{b}f\left( t\right) \mathrm{d}t = {\int }_{b}^{1}\frac{1}{f\left( t\right) }\mathrm{d}t\overset{a\text{ 的惟一性 }}{ = }b = a. $$