方企勤 第三章 一元函数积分学 第7题
📝 题目
例 7 (1) 求证: 球带的面积等于球的最大圆周长与球带高的乘积;
(2) 求半球面 $z = \sqrt{{R}^{2} - {x}^{2} - {y}^{2}}$ 的重心.
💡 答案解析
证 (1) 设球的半径为 $R$ ,球带的高为 $h\left( {h < {2R}}\right)$ ,则球带面积可以看成曲线
$$ y = \sqrt{{R}^{2} - {x}^{2}}\;\left( {a \leq x \leq a + h}\right) $$
绕 $x$ 轴旋转所得的侧面积(球带中的截面如图 3.10 所示),故球带的面积为
$$ P = {\int }_{a}^{a + h}{2\pi y} \cdot \sqrt{1 + {y}^{\prime 2}}\mathrm{\;d}x = {2\pi Rh}. $$
\begin{center} \includegraphics[max width=0.2\textwidth]{images/031.jpg} \end{center} \hspace*{3em}
图 3.10
解( 2 )由对称性可知半球面的重心坐标为 $\left( {0,0,\bar{z}}\right)$ ,把半球面看成一片一片高度为 $\mathrm{d}z$ 的球带拼合成的. 设半球面的密度为 $\rho$ ,则由第 (1) 小题的结果得
$$ \bar{z} = \frac{{\int }_{0}^{R}z \cdot \rho \cdot {2\pi R}\mathrm{\;d}z}{{\int }_{0}^{R}\rho \cdot {2\pi R}\mathrm{\;d}z} = \frac{R}{2}. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：证明球带面积公式
设球半径为R，球带高为h（h<2R）。将球带视为曲线y=√(R²-x²)在区间[a, a+h]上绕x轴旋转所得的侧面积。利用旋转体侧面积公式：P=∫_{a}^{a+h} 2πy √(1+y'²) dx。计算y'=-x/√(R²-x²)，则√(1+y'²)=R/√(R²-x²)。代入得P=∫_{a}^{a+h} 2π√(R²-x²) * (R/√(R²-x²)) dx = ∫_{a}^{a+h} 2πR dx = 2πRh。
公式：P = ∫_{a}^{a+h} 2πy √(1+y'²) dx = 2πRh
提示：注意球带高h是沿x轴方向的高度，而非弧长。
步骤 2/2
目标：求半球面重心
由对称性，重心在z轴上，设坐标为(0,0,ẑ)。将半球面视为由高度为dz的球带组成，每个球带面积dS=2πR dz（由(1)结论）。设面密度ρ均匀，则质量dm=ρ dS=ρ·2πR dz。重心z坐标公式：ẑ = (∫ z dm) / (∫ dm)。积分从z=0到R：分子∫₀ᴿ z·ρ·2πR dz = ρ·2πR·(R²/2)=ρπR³，分母∫₀ᴿ ρ·2πR dz = ρ·2πR·R=2πρR²。相除得ẑ=R/2。
公式：ẑ = (∫₀ᴿ z·ρ·2πR dz) / (∫₀ᴿ ρ·2πR dz) = R/2
提示：利用(1)的结论简化计算，注意球带高dz对应x方向增量，但这里直接使用z作为高度变量。
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