方企勤 第三章 一元函数积分学 第5题

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📝 题目

解 改写

$$ {\int }_{0}^{+\infty }\frac{\sin {x}^{2}}{{x}^{p}}\mathrm{\;d}x = \frac{x - \sqrt{t}}{t}{\int }_{0}^{+\infty }\frac{\sin t}{2{t}^{\frac{p + 1}{2}}}\mathrm{\;d}t. \tag{5.1} $$

当 $t \rightarrow 0 + 0$ 时,因为 $\frac{\sin t}{{t}^{\frac{b + 1}{2}}} = \frac{\sin t}{t} \cdot \frac{1}{{t}^{\frac{b - 1}{2}}} \sim \frac{1}{{t}^{\frac{b - 1}{2}}}\left( {t \rightarrow 0 + 0}\right)$ ,所以当 $\frac{p - 1}{2} < 1$ 时,即当 $p < 3$ 时,积分 $\displaystyle{\int }_{0}^{1}\frac{\sin t}{2{t}^{\frac{p + 1}{2}}}\mathrm{\;d}t}$ 收敛,由于被积函数是正值, 此收敛也是绝对收敛.

当 $\displaystyle{t \rightarrow + \infty}$ 时,因为 $\displaystyle{\left| {{\int }_{1}^{A}\sin t\mathrm{\;d}t}\right| \leq 2}$ ,又当 $\frac{p + 1}{2} < 0$ 时,即当 $p > - 1$ 时, $\frac{1}{{t}^{\frac{p + 1}{2}}} \searrow 0$ ,所以由狄利克雷判别法知积分 $\displaystyle{\int }_{1}^{+\infty }\frac{\sin t}{2{t}^{\frac{p + 1}{2}}}\mathrm{\;d}t}$ 收敛. 当 $\frac{p + 1}{2} > 1$ 时,即当 $p > 1$ 时,积分 $\displaystyle{\int }_{1}^{+\infty }\frac{\sin t}{2{t}^{\frac{p + 1}{2}}}\mathrm{\;d}t}$ 绝对收敛; 当 $0 < \frac{p + 1}{2} \leq 1$ 时,即当 $- 1 < p \leq 1$ 时, $\displaystyle{\int }_{1}^{+\infty }\frac{\sin t}{2{t}^{\frac{p + 1}{2}}}\mathrm{\;d}t}$ 条件收敛.

综合以上结果, 并由 (5.1) 式得

$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{ll} \text{ 当 } - 1 < p \leq 1\text{ 时, } & {\int }_{0}^{+\infty }\frac{\sin {x}^{2}}{{x}^{p}}\mathrm{\;d}x\text{ 条件收敛; } \\ \text{ 当 }1 < p < 3\text{ 时, } & {\int }_{0}^{+\infty }\frac{\sin {x}^{2}}{{x}^{p}}\mathrm{\;d}x\text{ 绝对收敛. } \end{array}\right.}$

💡 答案解析

解 改写

$$ {\int }_{0}^{+\infty }\frac{\sin {x}^{2}}{{x}^{p}}\mathrm{\;d}x = \frac{x - \sqrt{t}}{t}{\int }_{0}^{+\infty }\frac{\sin t}{2{t}^{\frac{p + 1}{2}}}\mathrm{\;d}t. \tag{5.1} $$

当 $t \rightarrow 0 + 0$ 时,因为 $\frac{\sin t}{{t}^{\frac{b + 1}{2}}} = \frac{\sin t}{t} \cdot \frac{1}{{t}^{\frac{b - 1}{2}}} \sim \frac{1}{{t}^{\frac{b - 1}{2}}}\left( {t \rightarrow 0 + 0}\right)$ ,所以当 $\frac{p - 1}{2} < 1$ 时,即当 $p < 3$ 时,积分 $\displaystyle{\int }_{0}^{1}\frac{\sin t}{2{t}^{\frac{p + 1}{2}}}\mathrm{\;d}t}$ 收敛,由于被积函数是正值, 此收敛也是绝对收敛.

当 $\displaystyle{t \rightarrow + \infty}$ 时,因为 $\displaystyle{\left| {{\int }_{1}^{A}\sin t\mathrm{\;d}t}\right| \leq 2}$ ,又当 $\frac{p + 1}{2} < 0$ 时,即当 $p > - 1$ 时, $\frac{1}{{t}^{\frac{p + 1}{2}}} \searrow 0$ ,所以由狄利克雷判别法知积分 $\displaystyle{\int }_{1}^{+\infty }\frac{\sin t}{2{t}^{\frac{p + 1}{2}}}\mathrm{\;d}t}$ 收敛. 当 $\frac{p + 1}{2} > 1$ 时,即当 $p > 1$ 时,积分 $\displaystyle{\int }_{1}^{+\infty }\frac{\sin t}{2{t}^{\frac{p + 1}{2}}}\mathrm{\;d}t}$ 绝对收敛; 当 $0 < \frac{p + 1}{2} \leq 1$ 时,即当 $- 1 < p \leq 1$ 时, $\displaystyle{\int }_{1}^{+\infty }\frac{\sin t}{2{t}^{\frac{p + 1}{2}}}\mathrm{\;d}t}$ 条件收敛.

综合以上结果, 并由 (5.1) 式得

$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{ll} \text{ 当 } - 1 < p \leq 1\text{ 时, } & {\int }_{0}^{+\infty }\frac{\sin {x}^{2}}{{x}^{p}}\mathrm{\;d}x\text{ 条件收敛; } \\ \text{ 当 }1 < p < 3\text{ 时, } & {\int }_{0}^{+\infty }\frac{\sin {x}^{2}}{{x}^{p}}\mathrm{\;d}x\text{ 绝对收敛. } \end{array}\right.}$

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：变量替换
令 t = x^2，则 x = sqrt(t)，dx = dt/(2 sqrt(t))。代入原积分得 ∫_0^∞ sin(x^2)/x^p dx = ∫_0^∞ sin(t) / (t^(p/2)) * 1/(2 sqrt(t)) dt = ∫_0^∞ sin(t) / (2 t^((p+1)/2)) dt。
公式：∫_0^∞ sin(x^2)/x^p dx = ∫_0^∞ sin(t)/(2 t^((p+1)/2)) dt
提示：注意变量替换后积分限不变，且被积函数在 t=0 处需考虑奇性。
步骤 2/4
目标：分析 t→0+ 时的收敛性
当 t→0+ 时，sin(t) ~ t，所以 sin(t)/t^((p+1)/2) ~ t / t^((p+1)/2) = 1/t^((p-1)/2)。因此 ∫_0^1 sin(t)/(2 t^((p+1)/2)) dt 收敛当且仅当 (p-1)/2 < 1，即 p < 3。此时被积函数为正，故绝对收敛。
公式：sin(t)/t^((p+1)/2) ~ 1/t^((p-1)/2) (t→0+)
提示：比较判别法：p-1<2 时收敛。
步骤 3/4
目标：分析 t→∞ 时的收敛性
考虑 ∫_1^∞ sin(t)/(2 t^((p+1)/2)) dt。令 f(t)=1/(2 t^((p+1)/2))，g(t)=sin(t)。则 ∫_1^A g(t) dt 有界（≤2）。当 (p+1)/2 > 0 时 f(t) 单调递减趋于 0，由狄利克雷判别法知积分收敛。具体地：若 (p+1)/2 > 1 即 p>1，则 ∫_1^∞ |sin(t)/t^((p+1)/2)| dt 收敛（绝对收敛）；若 0 < (p+1)/2 ≤ 1 即 -1 < p ≤ 1，则积分条件收敛。
公式：|∫_1^A sin t dt| ≤ 2
提示：狄利克雷判别法：有界变差与单调趋于0的乘积积分收敛。
步骤 4/4
目标：综合结论
结合 t→0+ 和 t→∞ 的收敛性：p<3 保证 t=0 处收敛；p>-1 保证 t→∞ 处收敛。因此原积分收敛当且仅当 -1 < p < 3。进一步，当 -1 < p ≤ 1 时，t→∞ 处条件收敛，故原积分条件收敛；当 1 < p < 3 时，t→∞ 处绝对收敛，且 t=0 处绝对收敛，故原积分绝对收敛。
提示：注意 p=1 时 t→∞ 处条件收敛，p=3 时 t=0 处发散。

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