方企勤 第四章 级 数 第7题

教材习题

📝 题目

例 7 讨论下列级数的收敛性:

(1) $\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{\left( -1\right) }^{n - 1}}{{n}^{1 + \frac{1}{n}}}$ ; (2) $\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n}\frac{\sin n}{n}$ .

💡 答案解析

解 (1) $\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{\left( -1\right) }^{n - 1}}{n} \cdot \frac{1}{\sqrt[n]{n}}$ 中,因 $\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{\left( -1\right) }^{n - 1}}{n}$ 收敛, $\sqrt[n]{n} =$ ${\mathrm{e}}^{\frac{\ln n}{n}}$ 当 $n$ 充分大时单调递减,故 $\frac{1}{\sqrt[n]{n}}$ 单调递增且有界,所以由定理 10 知级数收敛.

(2) $\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n}\frac{\sin n}{n} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{\cos \left( {n\pi }\right) \sin n}{n}$

$$ = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{\sin n\left( {1 + \pi }\right) - \sin n\left( {\pi - 1}\right) }{2n}. $$

因级数 $\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{\sin n\left( {1 + \pi }\right) }{2n}$ 与 $\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{\sin n\left( {\pi - 1}\right) }{2n}$ 收敛,所以级数收敛.

又解 由 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{\sin {nx}}{n}}$ 收敛,令 $x = 2$ ,知 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{\sin {2n}}{n}}$ ,即 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{\sin {2n}}{2n}}$ 收敛,再令 $x = 1$ ,知 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{\sin n}{n}}$ 收敛,由可组合性得

$$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left\lbrack {\frac{\sin \left( {{2n} - 1}\right) }{{2n} - 1} + \frac{\sin {2n}}{2n}}\right\rbrack \text{ 收敛 } \Rightarrow \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{\sin \left( {{2n} - 1}\right) }{{2n} - 1}\text{ 收敛 } $$

$$ \Rightarrow \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left\lbrack {\frac{\sin {2n}}{2n} - \frac{\sin \left( {{2n} - 1}\right) }{{2n} - 1}}\right\rbrack \text{ 收敛 } $$

$$ \Rightarrow \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n}\frac{\sin n}{n}\text{ 收敛. } $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：判断级数(1)的收敛性
将级数改写为 ∑ (-1)^(n-1)/n * 1/√[n]{n}。已知 ∑ (-1)^(n-1)/n 收敛（交错调和级数），而 1/√[n]{n} 单调递增且有界（因为 √[n]{n} 单调递减趋于1），由Abel判别法知原级数收敛。
公式：∑ (-1)^(n-1)/n 收敛；√[n]{n} = e^(ln n/n) 单调递减
提示：注意Abel判别法的条件：一个级数收敛，另一个序列单调有界。
步骤 2/3
目标：判断级数(2)的收敛性（方法一）
利用三角恒等式 (-1)^n sin n = cos(nπ) sin n = [sin n(1+π) - sin n(π-1)]/2。则原级数化为两个级数之差：∑ sin n(1+π)/(2n) 和 ∑ sin n(π-1)/(2n)。由Dirichlet判别法，∑ sin(nx)/n 收敛，因此这两个级数都收敛，故原级数收敛。
公式：(-1)^n sin n = [sin n(1+π) - sin n(π-1)]/2；∑ sin(nx)/n 收敛
提示：利用Dirichlet判别法：∑ sin(nx) 部分和有界，1/n 单调趋于0。
步骤 3/3
目标：判断级数(2)的收敛性（方法二）
已知 ∑ sin(nx)/n 收敛，令 x=2 得 ∑ sin(2n)/n 收敛，即 ∑ sin(2n)/(2n) 收敛；令 x=1 得 ∑ sin n/n 收敛。将级数按奇偶项拆分：∑ (-1)^n sin n/n = ∑ [sin(2n)/(2n) - sin(2n-1)/(2n-1)]。由于 ∑ sin(2n)/(2n) 和 ∑ sin(2n-1)/(2n-1) 均收敛（后者由 ∑ sin n/n 收敛可得），故其差收敛。
公式：∑ sin(nx)/n 收敛；(-1)^n sin n/n = sin(2n)/(2n) - sin(2n-1)/(2n-1)
提示：注意奇偶项分离，利用已知收敛级数的线性组合。

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