方企勤 第四章 级 数 第9题

教材习题

📝 题目

例 9 讨论级数 $\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\ln \left( {1 + \frac{{\left( -1\right) }^{n}}{{n}^{p}}}\right)$ 的收敛性与绝对收敛性 $(p >$ 0).

💡 答案解析

解 记 ${a}_{n} = {\left( -1\right) }^{n}/{n}^{p},{b}_{n} = \ln \left( {1 + {a}_{n}}\right) ,{c}_{n} = {a}_{n} - {b}_{n}$ ,则有

$$ {b}_{n} = \ln \left( {1 + \frac{{\left( -1\right) }^{n}}{{n}^{p}}}\right) = \frac{{\left( -1\right) }^{n}}{{n}^{p}} - \frac{1}{2{n}^{2p}} + o\left( \frac{1}{2{n}^{2p}}\right) , $$

$$ {c}_{n} = \frac{1}{2{n}^{2p}} + o\left( \frac{1}{{n}^{2p}}\right) \sim \frac{1}{2{n}^{2p}}. $$

当 $0 < p \leq \frac{1}{2}$ 时,级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{a}_{n}}$ 条件收敛, $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{c}_{n}}$ 发散 $\displaystyle{\Rightarrow \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{b}_{n}}$ 发散.

当 $\frac{1}{2} < p \leq 1$ 时,级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{a}_{n}}$ 条件收敛,级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{c}_{n}}$ 绝对收敛 $\Rightarrow$ $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{b}_{n}}$ 条件收敛,要不然, $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{c}_{n}}$ 绝对收敛,由

$$ {a}_{n} = {c}_{n} + {b}_{n} \Rightarrow \left| {a}_{n}\right| \leq \left| {b}_{n}\right| + \left| {c}_{n}\right| \Rightarrow \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left| {a}_{n}\right| \text{ 收敛. } $$

矛盾！

当 $p > 1$ 时,级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{a}_{n},\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{c}_{n}}$ 皆绝对收敛 $\displaystyle{\Rightarrow \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{b}_{n}}$ 绝对收敛.

评注 级数 $\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\ln \left( {1 + \frac{{\left( -1\right) }^{n}}{{n}^{p}}}\right)$ 为交错级数,当 $0 < p \leq \frac{1}{2}$ 时,由于一般项 $\left| {b}_{n}\right|$ 不单调,级数可以发散；还说明对于非正项级数,由

$$ \ln \left( {1 + \frac{{\left( -1\right) }^{n}}{{n}^{p}}}\right) \sim \frac{{\left( -1\right) }^{n}}{{n}^{p}} $$

及 $\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{\left( -1\right) }^{n}}{{n}^{p}}$ 收敛,得不出 $\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\ln \left( {1 + \frac{{\left( -1\right) }^{n}}{{n}^{p}}}\right)$ 收敛.

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：定义变量并展开通项
记 a_n = (-1)^n / n^p, b_n = ln(1 + a_n), c_n = a_n - b_n。利用 ln(1+x) 的泰勒展开：ln(1+x) = x - x^2/2 + o(x^2)，代入 x = a_n，得到 b_n = (-1)^n/n^p - 1/(2n^{2p}) + o(1/(2n^{2p}))，从而 c_n = 1/(2n^{2p}) + o(1/n^{2p}) ~ 1/(2n^{2p})。
公式：b_n = \frac{(-1)^n}{n^p} - \frac{1}{2n^{2p}} + o\left(\frac{1}{2n^{2p}}\right), \quad c_n \sim \frac{1}{2n^{2p}}
提示：注意 ln(1+x) 的展开在 x 趋于0时成立，这里 a_n 趋于0。
步骤 2/4
目标：讨论 p ≤ 1/2 的情况
当 0 < p ≤ 1/2 时，∑ a_n 条件收敛（莱布尼茨判别法），但 ∑ c_n 发散（因为 2p ≤ 1，p-级数发散）。由于 b_n = a_n - c_n，若 ∑ b_n 收敛，则 ∑ c_n = ∑ (a_n - b_n) 收敛，矛盾。故 ∑ b_n 发散。
公式：\sum c_n \text{ 发散} \Rightarrow \sum b_n \text{ 发散}
提示：利用反证法：若 ∑ b_n 收敛，则 ∑ c_n 收敛，与发散矛盾。
步骤 3/4
目标：讨论 1/2 < p ≤ 1 的情况
当 1/2 < p ≤ 1 时，∑ a_n 条件收敛，∑ c_n 绝对收敛（因为 2p > 1，p-级数收敛）。假设 ∑ b_n 绝对收敛，则 ∑ |a_n| ≤ ∑ |b_n| + ∑ |c_n| 收敛，但 ∑ |a_n| = ∑ 1/n^p 发散（p ≤ 1），矛盾。故 ∑ b_n 条件收敛。
公式：\sum |a_n| \leq \sum |b_n| + \sum |c_n|
提示：利用绝对值不等式 |a_n| ≤ |b_n| + |c_n|，反证绝对收敛性。
步骤 4/4
目标：讨论 p > 1 的情况
当 p > 1 时，∑ a_n 绝对收敛（p-级数），∑ c_n 绝对收敛（2p > 1），因此 ∑ b_n = ∑ (a_n - c_n) 绝对收敛。
公式：\sum b_n = \sum a_n - \sum c_n
提示：绝对收敛级数的线性组合仍绝对收敛。

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