方企勤 第四章 级 数 第16题

教材习题

📝 题目

例 16 设两序列 $\left\{ {a}_{n}\right\} ,\left\{ {b}_{n}\right\}$ 满足关系式

$$ {a}_{n + 1} = {b}_{n} + q{a}_{n}\;\left( {0 < q < 1}\right) , $$

且 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{b}_{n} = b}$ 存在. 证明:

(1) $\left\{ {a}_{n}\right\}$ 有界； (2) $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{a}_{n}}$ 存在.

💡 答案解析

证 (1) 因 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{b}_{n} = b,\exists M}$ ,使 $\left| {b}_{n}\right| \leq M\left( {n = 1,2,\cdots }\right)$ . 由关系式得

$$ \left| {a}_{2}\right| \leq M + q\left| {a}_{1}\right| , $$

$$ \left| {a}_{3}\right| \leq M + q\left| {a}_{2}\right| \leq M + {qM} + {q}^{2}\left| {a}_{1}\right| , $$

$\vdots$

$$ \left| {a}_{n}\right| \leq M\left( {1 + q + {q}^{2} + \cdots + {q}^{n - 2}}\right) + {q}^{n - 1}\left| {a}_{1}\right| $$

$$ \leq \frac{M}{1 - q} + \left| {a}_{1}\right| , $$

由数学归纳法即可看出式子成立.

(2) $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{a}_{n + 1} = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{b}_{n} + q\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{a}_{n} \Rightarrow \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{a}_{n} = \frac{b}{1 - q}}$ ,同理

$\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{a}_{n} = \frac{b}{1 - q} \Rightarrow \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{a}_{n}}$ 存在.

📋 详细解题步骤

步骤 1/2
目标：证明数列 {a_n} 有界
由 lim b_n = b 知存在 M > 0 使得 |b_n| ≤ M 对所有 n 成立。利用递推关系 |a_{n+1}| ≤ |b_n| + q|a_n| ≤ M + q|a_n|，通过数学归纳法得到 |a_n| ≤ M/(1-q) + |a_1|，从而有界。
公式：|a_n| ≤ M(1+q+...+q^{n-2}) + q^{n-1}|a_1| ≤ M/(1-q) + |a_1|
提示：注意 q 在 0 到 1 之间，几何级数收敛。
步骤 2/2
目标：证明极限 lim a_n 存在
对递推式两边取极限，设 lim a_n = A，则 A = b + qA，解得 A = b/(1-q)。由于极限存在且唯一，故 lim a_n 存在。
公式：lim a_{n+1} = lim b_n + q lim a_n ⇒ A = b + qA ⇒ A = b/(1-q)
提示：利用有界性保证极限存在性，然后解方程。

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