方企勤 第四章 级 数 第2题
📝 题目
例 2 求级数 $\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{\left( -1\right) }^{n}}{n \cdot \sqrt[n]{n}}{\left( \frac{x}{{2x} + 1}\right) }^{n}$ 的收敛域.
💡 答案解析
解 令 $t = \frac{x}{{2x} + 1}$ ,考虑辅助幂级数 $\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{\left( -1\right) }^{n}}{n \cdot \sqrt[n]{n}}{t}^{n}$ . 因为
$$ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\sqrt[n]{\frac{1}{n \cdot \sqrt[n]{n}}} = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\mathrm{e}}^{-\left( {\frac{1}{n} + \frac{1}{{n}^{2}}}\right) \ln n} = 1, $$
所以辅助幂级数的收敛半径 $R = 1$ .
当 $t = 1$ 时,辅助幂级数为 $\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{\left( -1\right) }^{n}}{n \cdot \sqrt[n]{n}}$ . 因为 $\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{\left( -1\right) }^{n}}{n}$ 收敛,并且 $1/\sqrt[n]{n}$ 单调有界,所以这时辅助幂级数收敛.
当 $t = - 1$ 时,辅助幂级数为 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{n \cdot \sqrt[n]{n}}}$ . 这是正项级数,因为 $\frac{1}{n \cdot \sqrt[n]{n}} \sim \frac{1}{n}\left( {n \rightarrow \infty }\right)$ ,所以这时辅助幂级数发散.
综上所述,辅助幂级数的收敛域为 $- 1 < t \leq 1$ ,因此原级数的收敛域为
$$ - 1 < \frac{x}{{2x} + 1} \leq 1 $$
解此不等式得 $x > - 1/3$ 或 $x \leq - 1$ ,即原级数的收敛域为
$$ \{ x \mid x > - 1/3\text{ 或 }x \leq - 1\} . $$