方企勤 第四章 级 数 第9题

教材习题

📝 题目

例 9 设曲线 ${x}^{\frac{1}{n}} + {y}^{\frac{1}{n}} = 1\left( {n > 1}\right)$ 在第一象限与坐标轴围成的面积为 $I\left( n\right)$ . 证明:

(1) $I\left( n\right) = {2n}{\int }_{0}^{1}{\left( 1 - {t}^{2}\right) }^{n}{t}^{{2n} - 1}\mathrm{\;d}t$ ;

(2) $\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}I\left( n\right) < 4$ .

💡 答案解析

解 (1) $I\left( n\right) = {\int }_{0}^{1}{\left( 1 - {x}^{\frac{1}{n}}\right) }^{n}\mathrm{\;d}x$ ,作变量替换 $x = {t}^{2n}$ ,即得

$$ I\left( n\right) = {2n}{\int }_{0}^{1}{\left( 1 - {t}^{2}\right) }^{n}{t}^{{2n} - 1}\mathrm{\;d}t. $$

(2)因为

$$ 0 \leq I\left( n\right) = {2n}{\int }_{0}^{1}{\left( 1 - {t}^{2}\right) }^{n}{t}^{{2n} - 1}\mathrm{\;d}t $$

$$ = {2n}{\int }_{0}^{1}\left( {1 - {t}^{2}}\right) {\left( 1 - {t}^{2}\right) }^{n - 1}{t}^{{2n} - 2}t\mathrm{\;d}t $$

$$ \leq {2n}{\int }_{0}^{1}{\left( 1 - {t}^{2}\right) }^{n - 1}{t}^{{2n} - 2}\mathrm{\;d}t $$

$$ = {2n}{\int }_{0}^{1}{\left\lbrack \left( 1 - {t}^{2}\right) {t}^{2}\right\rbrack }^{n - 1}\mathrm{\;d}t $$

$$ \leq {2n}{\int }_{0}^{1}{\left( \frac{1}{4}\right) }^{n - 1}\mathrm{\;d}t = \frac{2n}{{4}^{n - 1}}, $$

注意到 $\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{x}^{n} = \frac{x}{1 - x}\left( {\left| x\right| < 1}\right)$ ,逐项求导,得

$$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}n{x}^{n - 1} = \frac{1}{{\left( 1 - x\right) }^{2}}\;\left( {\left| x\right| < 1}\right) . $$

当 $x = \frac{1}{4}$ 时,上式给出:

$$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}I\left( n\right) \leq \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{2n}{{4}^{n - 1}} = \frac{32}{9} < 4. $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/2
目标：证明 I(n) = 2n ∫_0^1 (1-t^2)^n t^{2n-1} dt
由曲线方程 x^{1/n} + y^{1/n} = 1，得 y = (1 - x^{1/n})^n。面积 I(n) = ∫_0^1 (1 - x^{1/n})^n dx。作变量替换 x = t^{2n}，则 dx = 2n t^{2n-1} dt，当 x=0 时 t=0，x=1 时 t=1。代入得 I(n) = ∫_0^1 (1 - t^2)^n * 2n t^{2n-1} dt = 2n ∫_0^1 (1-t^2)^n t^{2n-1} dt。
公式：I(n) = ∫_0^1 (1 - x^{1/n})^n dx, x = t^{2n}, dx = 2n t^{2n-1} dt
提示：注意变量替换时积分限的变化，以及幂次运算的准确性。
步骤 2/2
目标：证明 ∑ I(n) < 4
首先放缩 I(n)：I(n) = 2n ∫_0^1 (1-t^2)^n t^{2n-1} dt = 2n ∫_0^1 (1-t^2)(1-t^2)^{n-1} t^{2n-2} t dt ≤ 2n ∫_0^1 (1-t^2)^{n-1} t^{2n-2} dt = 2n ∫_0^1 [(1-t^2)t^2]^{n-1} dt。由于 (1-t^2)t^2 ≤ 1/4（当 t^2=1/2 时取等），所以 I(n) ≤ 2n ∫_0^1 (1/4)^{n-1} dt = 2n / 4^{n-1}。然后求和：∑_{n=1}^∞ I(n) ≤ ∑_{n=1}^∞ 2n / 4^{n-1} = 2 ∑_{n=1}^∞ n (1/4)^{n-1}。利用幂级数求和公式：∑_{n=1}^∞ n x^{n-1} = 1/(1-x)^2，|x|<1。取 x=1/4，得 ∑_{n=1}^∞ n (1/4)^{n-1} = 1/(1-1/4)^2 = 16/9。所以 ∑ I(n) ≤ 2 * 16/9 = 32/9 < 4。
公式：I(n) ≤ 2n/4^{n-1}, ∑_{n=1}^∞ n x^{n-1} = 1/(1-x)^2
提示：放缩时注意 (1-t^2)t^2 的最大值，以及幂级数求和公式的运用。

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