方企勤 第四章 级 数 第2题

教材习题

📝 题目

解 $\displaystyle{a}_{0} = \frac{1}{\pi }{\int }_{0}^{2\pi }x\mathrm{\;d}x = {2\pi }}$ ,

$$ {a}_{n} = \frac{1}{\pi }{\int }_{0}^{2\pi }x\cos {nx}\mathrm{\;d}x = {\left. \frac{1}{n\pi }x\sin nx\right| }_{0}^{2\pi } - \frac{1}{n\pi }{\int }_{0}^{2\pi }\sin {nx}\mathrm{\;d}x $$

$$ = {\left. \frac{1}{{n}^{2}\pi }\cos nx\right| }_{0}^{2\pi } = 0, $$

$$ {b}_{n} = \frac{1}{\pi }{\int }_{0}^{2\pi }x\sin {nx}\mathrm{\;d}x = - {\left. \frac{1}{n\pi }x\cos nx\right| }_{0}^{2\pi } + \frac{1}{n\pi }{\int }_{0}^{2\pi }\cos {nx}\mathrm{\;d}x $$

$$ = - {\left. \frac{2}{n} + \frac{1}{{n}^{2}\pi }\sin nx\right| }_{0}^{2\pi } = - \frac{2}{n}. $$

因为 $f\left( x\right)$ 满足逐段单调条件,所以

$$ \pi - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{2}{n}\sin {nx} = \left\{ \begin{array}{ll} x, & 0 < x < {2\pi }, \\ \pi , & x = 0,{2\pi }. \end{array}\right. $$

引申 由本题结果顺便可得到如下等式:

$$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{\sin {nx}}{n} = \frac{\pi - x}{2}\;\left( {0 < x < {2\pi }}\right) . $$

评注 前面两例中虽然函数表达式中都有 $x$ ,由于基本区间不同, 实际上是两个不同的周期函数.

💡 答案解析

解 $\displaystyle{a}_{0} = \frac{1}{\pi }{\int }_{0}^{2\pi }x\mathrm{\;d}x = {2\pi }}$ ,

$$ {a}_{n} = \frac{1}{\pi }{\int }_{0}^{2\pi }x\cos {nx}\mathrm{\;d}x = {\left. \frac{1}{n\pi }x\sin nx\right| }_{0}^{2\pi } - \frac{1}{n\pi }{\int }_{0}^{2\pi }\sin {nx}\mathrm{\;d}x $$

$$ = {\left. \frac{1}{{n}^{2}\pi }\cos nx\right| }_{0}^{2\pi } = 0, $$

$$ {b}_{n} = \frac{1}{\pi }{\int }_{0}^{2\pi }x\sin {nx}\mathrm{\;d}x = - {\left. \frac{1}{n\pi }x\cos nx\right| }_{0}^{2\pi } + \frac{1}{n\pi }{\int }_{0}^{2\pi }\cos {nx}\mathrm{\;d}x $$

$$ = - {\left. \frac{2}{n} + \frac{1}{{n}^{2}\pi }\sin nx\right| }_{0}^{2\pi } = - \frac{2}{n}. $$

因为 $f\left( x\right)$ 满足逐段单调条件,所以

$$ \pi - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{2}{n}\sin {nx} = \left\{ \begin{array}{ll} x, & 0 < x < {2\pi }, \\ \pi , & x = 0,{2\pi }. \end{array}\right. $$

引申 由本题结果顺便可得到如下等式:

$$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{\sin {nx}}{n} = \frac{\pi - x}{2}\;\left( {0 < x < {2\pi }}\right) . $$

评注 前面两例中虽然函数表达式中都有 $x$ ,由于基本区间不同, 实际上是两个不同的周期函数.

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：计算傅里叶系数 a0
计算 a0 = (1/π) ∫_0^{2π} x dx = (1/π) * (1/2)x^2 从0到2π = (1/π)*(2π^2) = 2π
公式：a0 = (1/π) ∫_0^{2π} x dx = 2π
提示：注意积分区间为0到2π，被积函数为x，直接积分即可。
步骤 2/5
目标：计算傅里叶系数 an
使用分部积分：an = (1/π) ∫_0^{2π} x cos(nx) dx = (1/(nπ)) [x sin(nx)]_0^{2π} - (1/(nπ)) ∫_0^{2π} sin(nx) dx = 0 - (1/(nπ)) * (1/n)[-cos(nx)]_0^{2π} = (1/(n^2π)) [cos(nx)]_0^{2π} = (1/(n^2π))(cos(2nπ)-cos0) = 0
公式：an = (1/π) ∫_0^{2π} x cos(nx) dx = 0
提示：分部积分时注意边界项为零，正弦积分结果为零。
步骤 3/5
目标：计算傅里叶系数 bn
使用分部积分：bn = (1/π) ∫_0^{2π} x sin(nx) dx = -(1/(nπ)) [x cos(nx)]_0^{2π} + (1/(nπ)) ∫_0^{2π} cos(nx) dx = -(1/(nπ))(2π cos(2nπ) - 0) + (1/(nπ)) * (1/n)[sin(nx)]_0^{2π} = -(2/n) + (1/(n^2π))(sin(2nπ)-sin0) = -2/n
公式：bn = (1/π) ∫_0^{2π} x sin(nx) dx = -2/n
提示：注意边界项计算：x cos(nx) 在2π处为2π，在0处为0。
步骤 4/5
目标：写出傅里叶级数并讨论收敛性
由于f(x)=x在[0,2π]上分段单调，傅里叶级数收敛到f(x)在连续点，在间断点x=0,2π处收敛到平均值π。因此：π - ∑_{n=1}^∞ (2/n) sin(nx) = x, 0
公式：π - ∑_{n=1}^∞ (2/n) sin(nx) = { x, 0
提示：注意傅里叶级数在间断点收敛到左右极限的平均值。
步骤 5/5
目标：推导引申等式
由傅里叶级数表达式移项得：∑_{n=1}^∞ (2/n) sin(nx) = π - x，两边除以2得：∑_{n=1}^∞ sin(nx)/n = (π - x)/2，其中0
公式：∑_{n=1}^∞ sin(nx)/n = (π - x)/2, 0
提示：注意x的范围，在端点处级数收敛到0。

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