方企勤 第五章 多元函数微分学 第3题

教材习题

📝 题目

例 3 设 $E \subset {\mathbf{R}}^{m}$ 是闭集, $x \in {\mathbf{R}}^{m}$ ,求证:

(1) $\exists y \in E$ ,使得 $\rho \left( {x,E}\right) = \rho \left( {x,y}\right)$ ；

(2)若 $x\bar{ \in }E$ ,则 $\rho \left( {x,E}\right) > 0$ .

💡 答案解析

证(1)由距离定义, $\exists {y}_{n} \in \mathbf{E}\left( {n = 1,2,\cdots }\right)$ ,使得

$$ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\rho \left( {x,{y}_{n}}\right) = \rho \left( {x,E}\right) . \tag{1.3} $$

$$ \left| {\mathbf{y}}_{n}\right| \leq \left| {{\mathbf{y}}_{n} - \mathbf{x}}\right| + \left| \mathbf{x}\right| = \rho \left( {\mathbf{x},{\mathbf{y}}_{n}}\right) + \left| \mathbf{x}\right| , $$

由 (1.3) 式知数列 $\rho \left( {x,{y}_{n}}\right)$ 有界,再由上式可得 $\left| {y}_{n}\right|$ 有界. 根据紧性定理,存在子列 $\left\{ {y}_{{n}_{k}}\right\}$ ,使得 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}{y}_{{n}_{k}} = y}$ . 因集合 $E$ 是闭的,所以 $y \in E$ . 注意到 $\mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}\rho \left( {y,{y}_{{n}_{k}}}\right) = 0$ 及 $\left| {\rho \left( {x,{y}_{{n}_{k}}}\right) - \rho \left( {x,y}\right) }\right| \leq \rho \left( {y,{y}_{{n}_{k}}}\right)$ ,可得

$$ \mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}\rho \left( {x,{y}_{{n}_{k}}}\right) = \rho \left( {x,y}\right) . \tag{1.4} $$

根据 (1.3) 与 (1.4) 式,即得 $\rho \left( {\mathbf{x},\mathbf{y}}\right) = \rho \left( {\mathbf{x},E}\right)$ .

(2)因 $x \neq y$ ,由(1)即得 $\rho \left( {x,E}\right) = \rho \left( {x,y}\right) > 0$ .

📋 详细解题步骤

步骤 1/2
目标：证明存在 y∈E 使得 ρ(x,E)=ρ(x,y)
由距离定义，存在点列 {y_n}⊂E 使得 ρ(x,y_n)→ρ(x,E)。由于 ρ(x,y_n) 有界，且 |y_n|≤ρ(x,y_n)+|x|，故 {y_n} 有界。根据紧性定理，存在收敛子列 {y_{n_k}} 收敛于某点 y。因 E 是闭集，故 y∈E。由 ρ(y,y_{n_k})→0 及 |ρ(x,y_{n_k})-ρ(x,y)|≤ρ(y,y_{n_k})，得 ρ(x,y_{n_k})→ρ(x,y)。结合极限唯一性，ρ(x,y)=ρ(x,E)。
公式：ρ(x,E)=inf_{z∈E}ρ(x,z); |ρ(x,y_{n_k})-ρ(x,y)|≤ρ(y,y_{n_k})
提示：注意利用点列有界性和紧性定理得到收敛子列，以及闭集保证极限点属于 E。
步骤 2/2
目标：证明若 x∉E，则 ρ(x,E)>0
由(1)知存在 y∈E 使得 ρ(x,E)=ρ(x,y)。由于 x∉E，故 x≠y，因此 ρ(x,y)>0，从而 ρ(x,E)>0。
公式：ρ(x,E)=ρ(x,y) 且 x≠y ⇒ ρ(x,y)>0
提示：直接利用(1)的结论，注意 x∉E 意味着 x 与 E 中任意点不同。

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