方企勤 第五章 多元函数微分学 第1题
📝 题目
例 1 设 $f\left( {x,y}\right) = {x}^{2}{\mathrm{e}}^{y} + \left( {x - 1}\right) \arctan \frac{y}{x}$ ,求它在(1,0)点的偏导数.
💡 答案解析
解法 1 因 $f\left( {x,0}\right) = {x}^{2}$ ,所以 ${f}_{x}^{\prime }\left( {1,0}\right) = 2$ . 同样因 $f\left( {1,y}\right) = {\mathrm{e}}^{y}$ , 所以 ${f}_{y}^{\prime }\left( {1,0}\right) = 1$ .
解法 2 因 ${f}_{x}^{\prime }\left( {x,y}\right) = {2x}{\mathrm{e}}^{y} + \arctan \frac{y}{x} + \frac{y\left( {1 - x}\right) }{{x}^{2} + {y}^{2}}$ ,所以 ${f}_{x}^{\prime }\left( {1,0}\right) = 2$ . 同样因 ${f}_{y}^{\prime }\left( {x,y}\right) = {x}^{2}{\mathrm{e}}^{y} + \frac{x\left( {x - 1}\right) }{{x}^{2} + {y}^{2}}$ ,得 ${f}_{y}^{\prime }\left( {1,0}\right) = 1$ .
可见求具体点的偏导数值时, 第一种解法较好.
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：求f在(1,0)点对x的偏导数
解法1：代入y=0，得f(x,0)=x^2，求导得f_x'(x,0)=2x，代入x=1得f_x'(1,0)=2。解法2：先求偏导函数f_x'(x,y)=2x e^y + arctan(y/x) + y(1-x)/(x^2+y^2)，再代入(1,0)得f_x'(1,0)=2。
公式：f_x'(1,0) = 2
提示：求具体点偏导时，先代入已知变量简化函数再求导更简便。
步骤 2/2
目标：求f在(1,0)点对y的偏导数
解法1：代入x=1，得f(1,y)=e^y，求导得f_y'(1,y)=e^y，代入y=0得f_y'(1,0)=1。解法2：先求偏导函数f_y'(x,y)=x^2 e^y + x(x-1)/(x^2+y^2)，再代入(1,0)得f_y'(1,0)=1。
公式：f_y'(1,0) = 1
提示：类似地，先代入x=1简化函数再求导更简单。
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