方企勤 第五章 多元函数微分学 第4题
📝 题目
例 4 设 $u = f\left( {x,\frac{x}{y}}\right)$ ,求 $\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y}$ .
💡 答案解析
解 我们不引入中间变量 $s = x$ 和 $t = x/y$ ,用 ${f}_{i}^{\prime }$ 表示对函数 $f$ 第 $i$ 个中间变量求偏导数,这样我们有
$$ \frac{\partial u}{\partial x} = {f}_{1}^{\prime } \cdot 1 + {f}_{2}^{\prime } \cdot \frac{1}{y} = {f}_{1}^{\prime } + \frac{1}{y}{f}_{2}^{\prime }, $$
$$ \frac{\partial u}{\partial y} = {f}_{1}^{\prime } \cdot 0 + {f}_{2}^{\prime } \cdot \left( {-\frac{x}{{y}^{2}}}\right) = - \frac{x}{{y}^{2}}{f}_{2}^{\prime }. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：明确函数结构和中间变量
函数 u = f(x, x/y) 有两个中间变量：第一个是 x，第二个是 x/y。我们记 f 对第一个中间变量的偏导数为 f'_1，对第二个中间变量的偏导数为 f'_2。
提示：注意 f 是二元函数，其偏导数记号 f'_i 表示对第 i 个位置变量的偏导。
步骤 2/3
目标：求 ∂u/∂x
根据链式法则，∂u/∂x = f'_1 * ∂(x)/∂x + f'_2 * ∂(x/y)/∂x。计算得 ∂(x)/∂x = 1，∂(x/y)/∂x = 1/y。因此 ∂u/∂x = f'_1 * 1 + f'_2 * (1/y) = f'_1 + (1/y) f'_2。
公式：∂u/∂x = f'_1 + (1/y) f'_2
提示：注意对 x 求偏导时，y 视为常数。
步骤 3/3
目标：求 ∂u/∂y
根据链式法则，∂u/∂y = f'_1 * ∂(x)/∂y + f'_2 * ∂(x/y)/∂y。计算得 ∂(x)/∂y = 0，∂(x/y)/∂y = -x/y^2。因此 ∂u/∂y = f'_1 * 0 + f'_2 * (-x/y^2) = - (x/y^2) f'_2。
公式：∂u/∂y = - (x/y^2) f'_2
提示：注意对 y 求偏导时，x 视为常数。
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