方企勤 第五章 多元函数微分学 第10题

教材习题

📝 题目

例 10 设 $f,g : {\mathbf{R}}^{m} \rightarrow {\mathbf{R}}^{n}$ 是可微函数. 试用复合函数求导法则来证明向量内积的求导公式:

$$ \mathrm{D}\left( {\mathbf{f}\left( \mathbf{x}\right) \cdot \mathbf{g}\left( \mathbf{x}\right) }\right) = {\mathbf{f}}^{\mathrm{T}}\left( \mathbf{x}\right) \mathrm{D}\mathbf{g}\left( \mathbf{x}\right) + {\mathbf{g}}^{\mathrm{T}}\left( \mathbf{x}\right) \mathrm{D}\mathbf{f}\left( \mathbf{x}\right) . $$

💡 答案解析

证 令 $F : {\mathbf{R}}^{2n} \rightarrow \mathbf{R}$ ,

$$ F\left( \mathbf{u}\right) = F\left( {{u}_{1},\cdots ,{u}_{n},{u}_{n + 1},\cdots ,{u}_{2n}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{u}_{i} \cdot {u}_{n + 1}. $$

令

$$ G : {\mathbf{R}}^{m} \rightarrow {\mathbf{R}}^{2n} $$

$$ \mathbf{u} = \mathbf{G}\left( \mathbf{x}\right) = \left( {{f}_{1}\left( \mathbf{x}\right) ,\cdots ,{f}_{n}\left( \mathbf{x}\right) ,{g}_{1}\left( \mathbf{x}\right) ,\cdots ,{g}_{n}\left( \mathbf{x}\right) }\right) , $$

则

$$ \left( {F \circ G}\right) \left( x\right) = f\left( x\right) \cdot g\left( x\right) . $$

因 $F$ 的 ${2n}$ 个偏导数连续,所以 $F$ 可微. 又因 $\mathbf{G}$ 的每个分量可微,所以 $\mathbf{G}$ 也可微. 这样由复合函数求导法则,得

$$ \mathrm{D}\left( {\mathbf{f}\left( \mathbf{x}\right) \cdot \mathbf{g}\left( \mathbf{x}\right) }\right) = \mathrm{D}\left( {F \circ \mathbf{G}}\right) \left( \mathbf{x}\right) = \mathrm{D}F\left( \mathbf{u}\right) \mathrm{D}\mathbf{G}\left( \mathbf{x}\right) $$

$$ = \left( {{u}_{n + 1},\cdots ,{u}_{2n},{u}_{1},\cdots ,{u}_{n}}\right) \left( \begin{array}{l} \mathrm{D}\mathbf{f}\left( \mathbf{x}\right) \\ \mathrm{D}\mathbf{g}\left( \mathbf{x}\right) \end{array}\right) . $$

利用矩阵分块相乘得

$$ \mathrm{D}\left( {\mathbf{f}\left( \mathbf{x}\right) \cdot \mathbf{g}\left( \mathbf{x}\right) }\right) = \left( {{u}_{n + 1},\cdots ,{u}_{2n}}\right) \mathrm{D}\mathbf{f}\left( \mathbf{x}\right) + \left( {{u}_{1},\cdots ,{u}_{n}}\right) \mathrm{D}\mathbf{g}\left( \mathbf{x}\right) $$

$$ = {\mathbf{g}}^{\mathrm{T}}\left( \mathbf{x}\right) \mathrm{D}\mathbf{f}\left( \mathbf{x}\right) + {\mathbf{f}}^{\mathrm{T}}\left( \mathbf{x}\right) \mathrm{D}\mathbf{g}\left( \mathbf{x}\right) . $$

评注 对多元函数来说, 求导法则只需复合函数求导一条法则, 其余求导法则皆可由它推出.

📋 详细解题步骤

步骤 1/6
目标：定义辅助函数F和G
定义F: R^{2n} → R，F(u) = Σ_{i=1}^n u_i * u_{n+i}；定义G: R^m → R^{2n}，G(x) = (f_1(x),...,f_n(x),g_1(x),...,g_n(x))。则复合函数(F∘G)(x) = f(x)·g(x)。
公式：F(u) = Σ_{i=1}^n u_i u_{n+i}, G(x) = (f(x), g(x))
提示：注意F是线性函数，其梯度为(u_{n+1},...,u_{2n}, u_1,...,u_n)。
步骤 2/6
目标：验证可微性
F的偏导数连续（线性函数），故F可微；G的每个分量可微，故G可微。因此复合函数可微。
提示：线性函数自动可微。
步骤 3/6
目标：应用链式法则
由链式法则：D(F∘G)(x) = DF(u) DG(x)，其中u=G(x)。
公式：D(F∘G)(x) = DF(u) DG(x)
提示：DF是行向量，DG是2n×m矩阵。
步骤 4/6
目标：计算DF和DG
DF(u) = (∂F/∂u_1,...,∂F/∂u_{2n}) = (u_{n+1},...,u_{2n}, u_1,...,u_n)。DG(x) = [Df(x); Dg(x)]，即Df(x)和Dg(x)上下拼接的2n×m矩阵。
公式：DF(u) = (u_{n+1},...,u_{2n}, u_1,...,u_n), DG(x) = [Df(x); Dg(x)]
提示：Df(x)是n×m矩阵，Dg(x)也是n×m矩阵。
步骤 5/6
目标：矩阵乘法
将DF(u)与DG(x)相乘：DF(u) DG(x) = (u_{n+1},...,u_{2n}) Df(x) + (u_1,...,u_n) Dg(x)。
公式：DF(u) DG(x) = (u_{n+1},...,u_{2n}) Df(x) + (u_1,...,u_n) Dg(x)
提示：利用分块乘法：行向量乘分块矩阵等于各块分别相乘后相加。
步骤 6/6
目标：代回原变量
由于u_i = f_i(x)（i=1,...,n），u_{n+i}=g_i(x)（i=1,...,n），所以(u_{n+1},...,u_{2n}) = g^T(x)，(u_1,...,u_n)=f^T(x)。因此结果为g^T(x) Df(x) + f^T(x) Dg(x)。
公式：D(f·g)(x) = g^T(x) Df(x) + f^T(x) Dg(x)
提示：注意顺序：g^T Df 是1×m行向量，f^T Dg也是1×m行向量。

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