方企勤 第五章 多元函数微分学 第2题
📝 题目
例 2 求由方程 $f\left( {x - y,y - z,z - x}\right) = 0$ 所确定的函数 $z =$ $z\left( {x,y}\right)$ 的微分.
💡 答案解析
解 由一阶微分的形式的不变性, 对方程求微分得
$$ {f}_{1}^{\prime }\left( {\mathrm{d}x - \mathrm{d}y}\right) + {f}_{2}^{\prime }\left( {\mathrm{d}y - \mathrm{d}z}\right) + {f}_{3}^{\prime }\left( {\mathrm{d}z - \mathrm{d}x}\right) = 0, $$
解出 $\mathrm{d}z = \frac{{f}_{1}^{\prime } - {f}_{3}^{\prime }}{{f}_{2}^{\prime } - {f}_{3}^{\prime }}\mathrm{d}x + \frac{{f}_{2}^{\prime } - {f}_{1}^{\prime }}{{f}_{2}^{\prime } - {f}_{3}^{\prime }}\mathrm{d}y\;\left( {{f}_{2}^{\prime } - {f}_{3}^{\prime } \neq 0}\right)$ .
评注 若题需要求一阶偏导数时, 我们可以利用一阶微分的形式的不变性, 先求出微分, 从而求出所有一阶偏导数.
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：对方程两边求全微分
利用一阶微分形式不变性，对方程 f(x-y, y-z, z-x)=0 两边求全微分。设中间变量 u=x-y, v=y-z, w=z-x，则 df = f'_1 du + f'_2 dv + f'_3 dw = 0。
公式：df = f'_1 du + f'_2 dv + f'_3 dw = 0
提示：注意中间变量的微分：du = dx - dy, dv = dy - dz, dw = dz - dx。
步骤 2/3
目标：代入微分表达式并整理
将 du, dv, dw 代入得：f'_1(dx - dy) + f'_2(dy - dz) + f'_3(dz - dx) = 0。
公式：f'_1(dx - dy) + f'_2(dy - dz) + f'_3(dz - dx) = 0
步骤 3/3
目标：解出 dz 关于 dx, dy 的表达式
将含 dz 的项移到一边，其余项移到另一边：f'_2(-dz) + f'_3(dz) = -f'_1(dx - dy) - f'_2(dy) + f'_3(dx)。整理得 (f'_2 - f'_3)dz = (f'_1 - f'_3)dx + (f'_2 - f'_1)dy。假设 f'_2 - f'_3 ≠ 0，则 dz = [(f'_1 - f'_3)/(f'_2 - f'_3)]dx + [(f'_2 - f'_1)/(f'_2 - f'_3)]dy。
公式：dz = \frac{f'_1 - f'_3}{f'_2 - f'_3}dx + \frac{f'_2 - f'_1}{f'_2 - f'_3}dy
提示：注意分母不为零的条件。
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