方企勤 第五章 多元函数微分学 第1题
📝 题目
解法 1 因
$$ \frac{{\mathrm{e}}^{-{ax}} - {\mathrm{e}}^{-{bx}}}{x} = {\int }_{a}^{b}{\mathrm{e}}^{-{tx}}\mathrm{\;d}t\;\left( {x \geq 0}\right) , $$
所以
$$ I = {\int }_{0}^{+\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{-{ax}} - {\mathrm{e}}^{-{bx}}}{x}\mathrm{\;d}x = {\int }_{0}^{+\infty }{\int }_{a}^{b}{\mathrm{e}}^{-{tx}}\mathrm{\;d}t\mathrm{\;d}x. $$
由于函数 ${\mathrm{e}}^{-{tx}}$ 在 $x \geq 0,a \leq t \leq b$ 上连续,又 $\left| {\mathrm{e}}^{-{tx}}\right| \leq {\mathrm{e}}^{-{ax}}$ 及
$$ {\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{ax}}\mathrm{\;d}x < + \infty , $$
由魏尔斯特拉斯判别法,积分 $\displaystyle{\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{tx}}\mathrm{\;d}x}$ 在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上一致收敛,故
$$ I = {\int }_{a}^{b}{\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{tx}}\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}t = {\int }_{a}^{b}\frac{\mathrm{d}t}{t} = \ln \frac{b}{a}. $$
解法 2 引入参数 $t$ ,
$$ I\left( t\right) = {\int }_{0}^{+\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{-{tx}} - {\mathrm{e}}^{-{bx}}}{x}\mathrm{\;d}x, $$
函数 $f\left( {t,x}\right) = \frac{{\mathrm{e}}^{-{tx}} - {\mathrm{e}}^{-{bx}}}{x}$ 及 ${f}_{i}^{\prime }\left( {t,x}\right) = - {\mathrm{e}}^{-{tx}}$ 在 $x \geq 0,a \leq t \leq b$ 上连续,积分 $\displaystyle{\int }_{0}^{+\infty }f\left( {t,x}\right) \mathrm{d}x$ 收敛,积分
$$ {\int }_{0}^{+\infty }{f}_{t}^{\prime }\left( {t,x}\right) \mathrm{d}x = - {\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{tx}}\mathrm{\;d}x $$
在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上一致收敛,故
$$ {I}^{\prime }\left( t\right) = {\int }_{0}^{+\infty } - {\mathrm{e}}^{-{tx}}\mathrm{\;d}x = - \frac{1}{t}. $$
解出 $I\left( t\right) = - \ln t + C$ . 令 $t = b$ ,定出任意常数 $C = \ln b$ ,故 $I\left( t\right) = \ln \frac{b}{t}$ . 所求积分 $I = I\left( a\right) = \ln \frac{b}{a}$ .
解法 3 令 $x = - \frac{2}{a}\ln t$ ,把含参变量的广义积分变为含参变量的定积分:
$$ I = {\int }_{0}^{+\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{-{ax}} - {\mathrm{e}}^{-{bx}}}{x}\mathrm{\;d}x = {\int }_{0}^{1}\frac{{t}^{\frac{2b}{a} - 1} - t}{\ln t}\mathrm{\;d}t. $$
因
$$ \frac{{t}^{\frac{2b}{a} - 1} - 1}{\ln t} = {\int }_{1}^{\frac{2b}{a} - 1}{t}^{x}\mathrm{\;d}x, $$
所以
$$ I = {\int }_{0}^{1}{\int }_{1}^{\frac{2b}{a} - 1}{t}^{x}\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}t = {\int }_{1}^{\frac{2b}{a} - 1}{\int }_{0}^{1}{t}^{x}\mathrm{\;d}t\mathrm{\;d}x $$
$$ = {\int }_{1}^{\frac{2b}{a} - 1}\frac{\mathrm{d}x}{x + 1} = \ln \frac{b}{a}. $$
解法 4 由广义积分定义与定积分第一中值定理得
$$ I = \mathop{\lim }\limits_{\substack{{N \rightarrow + \infty } \\ {\varepsilon \rightarrow {0}^{ + }} }}{\int }_{\varepsilon }^{N}\frac{{\mathrm{e}}^{-{ax}} - {\mathrm{e}}^{-{bx}}}{x}\mathrm{\;d}x $$
$$ = \mathop{\lim }\limits_{\substack{{N \rightarrow + \infty } \\ {\varepsilon \rightarrow {0}^{ + }} }}\left\lbrack {{\int }_{a\varepsilon }^{aN}\frac{{\mathrm{e}}^{-t}}{t}\mathrm{\;d}t - {\int }_{b\varepsilon }^{bN}\frac{{\mathrm{e}}^{-t}}{t}\mathrm{\;d}t}\right\rbrack $$
$$ = \mathop{\lim }\limits_{\substack{{N \rightarrow + \infty } \\ {\varepsilon \rightarrow {0}^{ + }} }}\left\lbrack {{\int }_{a\varepsilon }^{b\varepsilon }\frac{{\mathrm{e}}^{-t}}{t}\mathrm{\;d}t - {\int }_{aN}^{bN}\frac{{\mathrm{e}}^{-t}}{t}\mathrm{\;d}t}\right\rbrack $$
$$ = \mathop{\lim }\limits_{\substack{{N \rightarrow + \infty } \\ {\varepsilon \rightarrow {0}^{ + }} }}\left\lbrack {{\mathrm{e}}^{-\xi }\ln \frac{b}{a} - {\mathrm{e}}^{-\eta }\ln \frac{b}{a}}\right\rbrack $$
$$ \left( {{a\varepsilon } \leq \xi \leq {b\varepsilon },{aN} \leq \eta \leq {bN}}\right) $$
$$ = \ln \frac{b}{a}. $$
💡 答案解析
解法 1 因
$$ \frac{{\mathrm{e}}^{-{ax}} - {\mathrm{e}}^{-{bx}}}{x} = {\int }_{a}^{b}{\mathrm{e}}^{-{tx}}\mathrm{\;d}t\;\left( {x \geq 0}\right) , $$
所以
$$ I = {\int }_{0}^{+\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{-{ax}} - {\mathrm{e}}^{-{bx}}}{x}\mathrm{\;d}x = {\int }_{0}^{+\infty }{\int }_{a}^{b}{\mathrm{e}}^{-{tx}}\mathrm{\;d}t\mathrm{\;d}x. $$
由于函数 ${\mathrm{e}}^{-{tx}}$ 在 $x \geq 0,a \leq t \leq b$ 上连续,又 $\left| {\mathrm{e}}^{-{tx}}\right| \leq {\mathrm{e}}^{-{ax}}$ 及
$$ {\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{ax}}\mathrm{\;d}x < + \infty , $$
由魏尔斯特拉斯判别法,积分 $\displaystyle{\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{tx}}\mathrm{\;d}x}$ 在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上一致收敛,故
$$ I = {\int }_{a}^{b}{\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{tx}}\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}t = {\int }_{a}^{b}\frac{\mathrm{d}t}{t} = \ln \frac{b}{a}. $$
解法 2 引入参数 $t$ ,
$$ I\left( t\right) = {\int }_{0}^{+\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{-{tx}} - {\mathrm{e}}^{-{bx}}}{x}\mathrm{\;d}x, $$
函数 $f\left( {t,x}\right) = \frac{{\mathrm{e}}^{-{tx}} - {\mathrm{e}}^{-{bx}}}{x}$ 及 ${f}_{i}^{\prime }\left( {t,x}\right) = - {\mathrm{e}}^{-{tx}}$ 在 $x \geq 0,a \leq t \leq b$ 上连续,积分 $\displaystyle{\int }_{0}^{+\infty }f\left( {t,x}\right) \mathrm{d}x$ 收敛,积分
$$ {\int }_{0}^{+\infty }{f}_{t}^{\prime }\left( {t,x}\right) \mathrm{d}x = - {\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{tx}}\mathrm{\;d}x $$
在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上一致收敛,故
$$ {I}^{\prime }\left( t\right) = {\int }_{0}^{+\infty } - {\mathrm{e}}^{-{tx}}\mathrm{\;d}x = - \frac{1}{t}. $$
解出 $I\left( t\right) = - \ln t + C$ . 令 $t = b$ ,定出任意常数 $C = \ln b$ ,故 $I\left( t\right) = \ln \frac{b}{t}$ . 所求积分 $I = I\left( a\right) = \ln \frac{b}{a}$ .
解法 3 令 $x = - \frac{2}{a}\ln t$ ,把含参变量的广义积分变为含参变量的定积分:
$$ I = {\int }_{0}^{+\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{-{ax}} - {\mathrm{e}}^{-{bx}}}{x}\mathrm{\;d}x = {\int }_{0}^{1}\frac{{t}^{\frac{2b}{a} - 1} - t}{\ln t}\mathrm{\;d}t. $$
因
$$ \frac{{t}^{\frac{2b}{a} - 1} - 1}{\ln t} = {\int }_{1}^{\frac{2b}{a} - 1}{t}^{x}\mathrm{\;d}x, $$
所以
$$ I = {\int }_{0}^{1}{\int }_{1}^{\frac{2b}{a} - 1}{t}^{x}\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}t = {\int }_{1}^{\frac{2b}{a} - 1}{\int }_{0}^{1}{t}^{x}\mathrm{\;d}t\mathrm{\;d}x $$
$$ = {\int }_{1}^{\frac{2b}{a} - 1}\frac{\mathrm{d}x}{x + 1} = \ln \frac{b}{a}. $$
解法 4 由广义积分定义与定积分第一中值定理得
$$ I = \mathop{\lim }\limits_{\substack{{N \rightarrow + \infty } \\ {\varepsilon \rightarrow {0}^{ + }} }}{\int }_{\varepsilon }^{N}\frac{{\mathrm{e}}^{-{ax}} - {\mathrm{e}}^{-{bx}}}{x}\mathrm{\;d}x $$
$$ = \mathop{\lim }\limits_{\substack{{N \rightarrow + \infty } \\ {\varepsilon \rightarrow {0}^{ + }} }}\left\lbrack {{\int }_{a\varepsilon }^{aN}\frac{{\mathrm{e}}^{-t}}{t}\mathrm{\;d}t - {\int }_{b\varepsilon }^{bN}\frac{{\mathrm{e}}^{-t}}{t}\mathrm{\;d}t}\right\rbrack $$
$$ = \mathop{\lim }\limits_{\substack{{N \rightarrow + \infty } \\ {\varepsilon \rightarrow {0}^{ + }} }}\left\lbrack {{\int }_{a\varepsilon }^{b\varepsilon }\frac{{\mathrm{e}}^{-t}}{t}\mathrm{\;d}t - {\int }_{aN}^{bN}\frac{{\mathrm{e}}^{-t}}{t}\mathrm{\;d}t}\right\rbrack $$
$$ = \mathop{\lim }\limits_{\substack{{N \rightarrow + \infty } \\ {\varepsilon \rightarrow {0}^{ + }} }}\left\lbrack {{\mathrm{e}}^{-\xi }\ln \frac{b}{a} - {\mathrm{e}}^{-\eta }\ln \frac{b}{a}}\right\rbrack $$
$$ \left( {{a\varepsilon } \leq \xi \leq {b\varepsilon },{aN} \leq \eta \leq {bN}}\right) $$
$$ = \ln \frac{b}{a}. $$