方企勤 第六章 多元函数积分学 第1题

教材习题

📝 题目

例 1 设 $A \subset B$ 为 ${\mathbf{R}}^{m}$ 中的有界集,证明

(1) ${V}^{ - }\left( A\right) \leq {V}^{ - }\left( B\right) ,{V}^{ + }\left( A\right) \leq {V}^{ + }\left( B\right)$ ；

(2)若 $V\left( B\right) = 0$ ,则 $V\left( A\right) = 0$ .

💡 答案解析

证 (1) 用超平面 ${x}_{i} = k/{2}^{n}\left( {k = 0, \pm 1, \pm 2,\cdots ;i = 1,\cdots ,m}\right)$ 作 ${\mathbf{R}}^{m}$ 的 $n$ 阶网格,若某个网格 (即闭立方体) 含在 ${A}^{ \circ }$ 内,则必含在 ${B}^{ \circ }$ 内,所以 ${V}_{n}^{ - }\left( A\right) \leq {V}_{n}^{ - }\left( B\right)$ . 令 $\displaystyle{n \rightarrow \infty}$ ,即得 ${V}^{ - }\left( A\right) \leq {V}^{ - }\left( B\right)$ .

又某个网格与 $\bar{A}$ 的交不为空集,它必与 $\bar{B}$ 的交不为空集,所以 ${V}_{n}^{ + }\left( A\right) \leq {V}_{n}^{ + }\left( B\right)$ . 令 $\displaystyle{n \rightarrow \infty}$ ,即得

$$ {V}^{ + }\left( A\right) \leq {V}^{ + }\left( B\right) . $$

(2)由 $V\left( B\right) = 0$ ,意味着 ${V}^{ + }\left( B\right) = 0$ ,根据(1)得 ${V}^{ + }\left( A\right) = 0$ . 而直接由内容积与外容积定义可知

$$ 0 \leq {V}^{ - }\left( A\right) \leq {V}^{ + }\left( A\right) = 0, $$

所以 $V\left( A\right) = 0$ .

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：证明内容积不等式
用超平面 x_i = k/2^n 作 R^m 的 n 阶网格。若某个闭立方体含在 A 的内部，则必含在 B 的内部，因此 V_n^-(A) ≤ V_n^-(B)。令 n→∞，得 V^-(A) ≤ V^-(B)。
公式：V^-(A) = lim_{n→∞} V_n^-(A)
提示：注意内容积定义：所有完全含于集合内部的网格立方体体积之和的上确界。
步骤 2/3
目标：证明外容积不等式
若某个网格立方体与 A 的闭包相交，则必与 B 的闭包相交，因此 V_n^+(A) ≤ V_n^+(B)。令 n→∞，得 V^+(A) ≤ V^+(B)。
公式：V^+(A) = lim_{n→∞} V_n^+(A)
提示：外容积定义：所有与集合闭包相交的网格立方体体积之和的下确界。
步骤 3/3
目标：证明若 V(B)=0 则 V(A)=0
由 V(B)=0 得 V^+(B)=0，根据(1)有 V^+(A)=0。又 0 ≤ V^-(A) ≤ V^+(A)=0，故 V^-(A)=0，从而 V(A)=0。
公式：V(A) = V^-(A) = V^+(A) 当两者相等时
提示：注意 V(B)=0 意味着外容积为0，因为内容积非负且不超过外容积。

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