方企勤 第六章 多元函数积分学 第8题
📝 题目
例 8 计算积分 $\displaystyle{I = {\int }_{0}^{1}\mathrm{\;d}y{\int }_{y}^{1}\frac{y}{\sqrt{1 + {x}^{3}}}\mathrm{\;d}x}$ .
💡 答案解析
解 内层积分积不出来, 不妨换一求积次序. 为此由所给积分限画出积分区域 $D$ 的图形 (见图 6.2). 于是
$$ I = {\iint }_{D}\frac{y}{\sqrt{1 + {x}^{3}}}\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y = {\int }_{0}^{1}\mathrm{\;d}x{\int }_{0}^{x}\frac{y}{\sqrt{1 + {x}^{3}}}\mathrm{\;d}y $$
$$ = \frac{1}{2}{\int }_{0}^{1}\frac{{x}^{2}}{\sqrt{1 + {x}^{3}}}\mathrm{\;d}x = \frac{1}{3}\left( {\sqrt{2} - 1}\right) . $$
\begin{center} \includegraphics[max width=0.2\textwidth]{images/041.jpg} \end{center} \hspace*{3em}
图 6.2
评注 这题表明求积次序不仅影响求积难易程度, 也关系到积分能不能积出来.
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析积分特点，考虑交换积分次序
内层积分 ∫(y/√(1+x^3))dx 无法直接求出原函数，因此考虑交换积分次序。由积分限 y从0到1，x从y到1，画出积分区域D：由直线x=y和x=1及y=0围成。
提示：当内层积分难以计算时，可尝试交换积分次序。
步骤 2/4
目标：交换积分次序，写出新积分表达式
积分区域D可表示为：x从0到1，y从0到x。因此 I = ∫_{x=0}^1 dx ∫_{y=0}^x (y/√(1+x^3)) dy。
公式：I = ∫_0^1 dx ∫_0^x (y/√(1+x^3)) dy
提示：注意交换次序后积分限的变化：先对y积分，再对x积分。
步骤 3/4
目标：计算内层积分（对y）
对y积分时，x视为常数。∫_0^x y dy = (1/2)x^2。因此 I = ∫_0^1 (1/2)x^2 / √(1+x^3) dx = (1/2)∫_0^1 x^2/√(1+x^3) dx。
公式：∫_0^x y dy = x^2/2
提示：注意被积函数中y的幂次简单，先积y。
步骤 4/4
目标：计算外层积分（对x）
令 u = 1+x^3，则 du = 3x^2 dx，x^2 dx = du/3。当x=0时u=1，x=1时u=2。积分变为 (1/2)∫_1^2 (1/√u) * (du/3) = (1/6)∫_1^2 u^{-1/2} du = (1/6)*2√u|_1^2 = (1/3)(√2 - 1)。
公式：∫ x^2/√(1+x^3) dx = (2/3)√(1+x^3) + C
提示：使用换元法简化积分。
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