方企勤 第六章 多元函数积分学 第12题
📝 题目
例 12 求曲面 $z = {xy},z = 0,x + y = 1$ 所围立体的体积.
💡 答案解析
解 由图 6.4 看出,所围立体在 ${xy}$ 平面上的投影区域 $D$ 为 $x \geq 0,y \geq 0,x + y \leq 1$ . 所以
$$ V = {\iint }_{D}{xy}\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y = {\int }_{0}^{1}\mathrm{\;d}x{\int }_{0}^{1 - x}{xy}\mathrm{\;d}y $$
$$ = \frac{1}{2}{\int }_{0}^{1}x{\left( 1 - x\right) }^{2}\mathrm{\;d}x = \frac{1}{24}. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定立体在xy平面上的投影区域
由曲面z=xy和z=0以及平面x+y=1所围立体，在xy平面上的投影区域D由x≥0, y≥0, x+y≤1确定。
提示：注意z=0是xy平面，立体在xy平面上的投影由边界曲线x+y=1和坐标轴围成。
步骤 2/5
目标：写出体积的二重积分表达式
立体体积V等于曲顶z=xy在区域D上的二重积分，即V = ∬_D xy dxdy。
公式：V = ∬_D xy dxdy
提示：曲顶为z=xy，底为xy平面上的区域D。
步骤 3/5
目标：将二重积分化为累次积分
选择先对y后对x积分：y从0到1-x，x从0到1，即V = ∫_{0}^{1} dx ∫_{0}^{1-x} xy dy。
公式：V = ∫_{0}^{1} dx ∫_{0}^{1-x} xy dy
提示：积分次序的选择基于区域形状，先积y再积x。
步骤 4/5
目标：计算内层积分
先对y积分：∫_{0}^{1-x} xy dy = x * (1/2) y^2 |_{0}^{1-x} = (x/2)(1-x)^2。
公式：∫_{0}^{1-x} xy dy = (x/2)(1-x)^2
提示：注意x视为常数。
步骤 5/5
目标：计算外层积分
V = ∫_{0}^{1} (x/2)(1-x)^2 dx = (1/2) ∫_{0}^{1} x(1-x)^2 dx。展开被积函数：x(1-x)^2 = x(1 - 2x + x^2) = x - 2x^2 + x^3。积分得：∫_{0}^{1} (x - 2x^2 + x^3) dx = [x^2/2 - 2x^3/3 + x^4/4]_{0}^{1} = 1/2 - 2/3 + 1/4 = (6/12 - 8/12 + 3/12) = 1/12。再乘以1/2得V=1/24。
公式：V = (1/2) * (1/12) = 1/24
提示：计算定积分时注意使用牛顿-莱布尼茨公式。
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