方企勤 第六章 多元函数积分学 第2题

教材习题

📝 题目

例 2 计算积分 $\displaystyle{I = {\iint }_{{x}^{2} + {y}^{2} \leq 1}\left| {{3x} + {4y}}\right| \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y}$ .

💡 答案解析

解法 1 令 $x = r\cos \theta ,y = r\sin \theta$ ,则

$$ I = {\int }_{0}^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_{0}^{1} \mid 3\cos \theta + 4\sin \theta \mid {r}^{2}\mathrm{\;d}r $$

$$ = \frac{5}{3}{\int }_{0}^{2\pi }\left| {\cos \left( {\theta - {\theta }_{0}}\right) }\right| \mathrm{d}\theta \left( {{\theta }_{0} = \arccos \frac{3}{5}}\right) $$

$$ = \frac{5}{3}{\int }_{0}^{2\pi }\left| {\cos \theta }\right| \mathrm{d}\theta = \frac{20}{3}{\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}\cos \theta \mathrm{d}\theta = \frac{20}{3}. $$

解法 2 令 $\xi = \frac{3}{5}x + \frac{4}{5}y,\eta = - \frac{4}{5}x + \frac{3}{5}y$ ,变换的雅可比行列式为

$$ \left| \frac{\partial \left( {\xi ,\eta }\right) }{\partial \left( {x,y}\right) }\right| = 1,\;\text{ 故 }\;\left| \frac{\partial \left( {x,y}\right) }{\partial \left( {\xi ,\eta }\right) }\right| = 1. $$

且变换把区域 ${x}^{2} + {y}^{2} \leq 1$ 变为区域 ${\xi }^{2} + {\eta }^{2} \leq 1$ . 所以

$$ I = {\iint }_{{\xi }^{2} + {\eta }^{2} \leq 1}\left| {5\xi }\right| \mathrm{d}\xi \mathrm{d}\eta = {\int }_{-1}^{1}\mathrm{\;d}\xi {\int }_{-\sqrt{1 - {\xi }^{2}}}^{\sqrt{1 - {\xi }^{2}}}\left| {5\xi }\right| \mathrm{d}\eta $$

$$ = {\int }_{-1}^{1}\left| {5\xi }\right| \cdot 2\sqrt{1 - {\xi }^{2}}\mathrm{\;d}\xi = {20}{\int }_{0}^{1}\xi \sqrt{1 - {\xi }^{2}}\mathrm{\;d}\xi $$

$$ = \frac{20}{3}\text{ . } $$

评注 当然也可作 $\xi = {3x} + {4y},\eta = - {4x} + {3y}$ 的变换. 用这种方法, 可证一般的形式积分 $\forall$

$$ {\iint }_{{x}^{2} + {y}^{2} \leq 1}f\left( {{ax} + {by}}\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y = 2{\int }_{-1}^{1}\sqrt{1 - {\xi }^{2}}f\left( {\xi \sqrt{{a}^{2} + {b}^{2}}}\right) \mathrm{d}\xi . $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：使用极坐标变换简化积分
令 x = r cosθ, y = r sinθ，则积分区域变为 r∈[0,1], θ∈[0,2π]，被积函数 |3x+4y| = |3r cosθ + 4r sinθ| = r|3 cosθ + 4 sinθ|，面积元 dxdy = r dr dθ。积分化为 I = ∫_{0}^{2π} dθ ∫_{0}^{1} |3 cosθ + 4 sinθ| r^2 dr。
公式：x = r cosθ, y = r sinθ, dxdy = r dr dθ
提示：注意极坐标变换中面积元要乘以r。
步骤 2/5
目标：计算径向积分并化简角度积分
先对r积分：∫_{0}^{1} r^2 dr = 1/3，所以 I = (1/3) ∫_{0}^{2π} |3 cosθ + 4 sinθ| dθ。将3 cosθ + 4 sinθ合并为5 cos(θ-θ0)，其中 cosθ0=3/5, sinθ0=4/5，则 I = (5/3) ∫_{0}^{2π} |cos(θ-θ0)| dθ。由于周期性和对称性，∫_{0}^{2π} |cos(θ-θ0)| dθ = ∫_{0}^{2π} |cosθ| dθ = 4 ∫_{0}^{π/2} cosθ dθ = 4。
公式：3 cosθ + 4 sinθ = 5 cos(θ-θ0), ∫_{0}^{2π} |cosθ| dθ = 4
提示：利用三角恒等式合并，并利用周期性和对称性简化积分。
步骤 3/5
目标：得出最终结果
I = (5/3) * 4 = 20/3。
公式：I = 20/3
步骤 4/5
目标：使用正交变换简化积分（解法2）
作正交变换：ξ = (3/5)x + (4/5)y, η = -(4/5)x + (3/5)y，则雅可比行列式为1，区域变为 ξ^2+η^2 ≤ 1，被积函数 |3x+4y| = |5ξ|。积分化为 I = ∬_{ξ^2+η^2≤1} |5ξ| dξ dη。
公式：ξ = (3/5)x + (4/5)y, η = -(4/5)x + (3/5)y, |∂(x,y)/∂(ξ,η)| = 1
提示：正交变换保持面积不变，且将线性组合化为单一变量。
步骤 5/5
目标：计算新坐标系下的积分
先对η积分：对于固定ξ，η从 -√(1-ξ^2) 到 √(1-ξ^2)，∫ dη = 2√(1-ξ^2)。所以 I = ∫_{-1}^{1} |5ξ| * 2√(1-ξ^2) dξ = 10 ∫_{-1}^{1} |ξ| √(1-ξ^2) dξ = 20 ∫_{0}^{1} ξ √(1-ξ^2) dξ。令 u=1-ξ^2，则 du = -2ξ dξ，积分变为 20 ∫_{1}^{0} √u * (-du/2) = 10 ∫_{0}^{1} u^{1/2} du = 10 * (2/3) = 20/3。
公式：∫_{-1}^{1} |ξ| √(1-ξ^2) dξ = 2 ∫_{0}^{1} ξ √(1-ξ^2) dξ = 2/3
提示：利用对称性简化绝对值，再换元积分。

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