方企勤 第六章 多元函数积分学 第5题

教材习题

📝 题目

例 5 设 $f\left( {x,y}\right)$ 在 ${\mathbf{R}}^{2}$ 上连续, $r$ 为定数,记 $D$ 是以(x, y)点为心,以 $r$ 为半径的圆,即 ${\left( \xi - x\right) }^{2} + {\left( \eta - y\right) }^{2} \leq {r}^{2},L$ 为 $D$ 的边界沿逆时针方向. 令

$$ F\left( {x,y}\right) = {\iint }_{D}f\left( {\xi ,\eta }\right) \mathrm{d}\xi \mathrm{d}\eta . $$

💡 答案解析

证明:

(1) $F\left( {x,y}\right)$ 的偏导数存在,且

$$ \frac{\partial F}{\partial x} = {\int }_{L}f\left( {\xi ,\eta }\right) \mathrm{d}\eta ,\;\frac{\partial F}{\partial y} = - {\int }_{L}f\left( {\xi ,\eta }\right) \mathrm{d}\xi ; $$

(2)上述偏导数是 $x,y$ 的连续函数.

证 (1) 由重积分化累次积分公式, 得

$$ F\left( {x,y}\right) = {\int }_{y - r}^{y + r}\mathrm{\;d}\eta {\int }_{x - \sqrt{{r}^{2} - {\left( \eta - y\right) }^{2}}}^{x + \sqrt{{r}^{2} - {\left( \eta - y\right) }^{2}}}f\left( {\xi ,\eta }\right) \mathrm{d}\xi . $$

当 $y$ 固定时,作为 $\eta ,x$ 的函数,

$$ g\left( {\eta ,x}\right) = {\int }_{x - \sqrt{{r}^{2} - {\left( \eta - y\right) }^{2}}}^{x + \sqrt{{r}^{2} - {\left( \eta - y\right) }^{2}}}f\left( {\xi ,\eta }\right) \mathrm{d}\xi $$

在 $y - r \leq \eta \leq y + r,x \in \left( {-\infty , + \infty }\right)$ 上连续,且 $g\left( {\eta ,x}\right)$ 对 $x$ 的偏导数

$$ {g}_{x}^{\prime }\left( {\eta ,x}\right) = f\left( {x + \sqrt{{r}^{2} - {\left( \eta - y\right) }^{2}},\eta }\right) $$

$$ - f\left( {x - \sqrt{{r}^{2} - {\left( \eta - y\right) }^{2}},\eta }\right) $$

也在 $y - r \leq \eta \leq y + r,x \in \left( {-\infty , + \infty }\right)$ 上连续,故根据参变积分求导定理知

$$ \frac{\partial F}{\partial x} = {\int }_{y - r}^{y + r}\left\lbrack {f\left( {x + \sqrt{{r}^{2} - {\left( \eta - y\right) }^{2}},\eta }\right) }\right. $$

$$ \left. {-f\left( {x - \sqrt{{r}^{2} - {\left( \eta - y\right) }^{2}},\eta }\right) }\right\rbrack \mathrm{d}\eta . $$

再根据第二型曲线积分的计算, 即可看出

$$ \frac{\partial F}{\partial x} = {\int }_{{\left( \xi - x\right) }^{2} + {\left( \eta - y\right) }^{2} = {r}^{2}}f\left( {\xi ,\eta }\right) \mathrm{d}\eta = {\int }_{L}f\left( {\xi ,\eta }\right) \mathrm{d}\eta . $$

同理可证

$$ \frac{\partial F}{\partial y} = - {\int }_{L}f\left( {\xi ,\eta }\right) \mathrm{d}\xi . $$

(2)为了说明 $\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y}$ 是 $x,y$ 的连续函数,只需注意

$$ \frac{\partial F}{\partial x} = {\int }_{0}^{2\pi }f\left\lbrack {x + r\cos \theta ,y + r\sin \theta }\right\rbrack r\cos \theta \mathrm{d}\theta , $$

$$ \frac{\partial F}{\partial y} = {\int }_{0}^{2\pi }f\left\lbrack {x + r\cos \theta ,y + r\sin \theta }\right\rbrack r\sin \theta \mathrm{d}\theta . $$

这样根据参变积分中的连续性定理,即可看出 $\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y}$ 是 $x,y$ 的二元连续函数.

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：将二重积分化为累次积分
利用重积分化累次积分公式，将F(x,y)表示为先对ξ后对η的积分：F(x,y) = ∫_{y-r}^{y+r} dη ∫_{x-√(r²-(η-y)²)}^{x+√(r²-(η-y)²)} f(ξ,η) dξ。
公式：F(x,y) = ∫_{y-r}^{y+r} dη ∫_{x-√(r²-(η-y)²)}^{x+√(r²-(η-y)²)} f(ξ,η) dξ
提示：注意积分限的确定：η从y-r到y+r，ξ的上下限由圆的方程得到。
步骤 2/5
目标：对x求偏导
固定y，令g(η,x)=∫_{x-√(r²-(η-y)²)}^{x+√(r²-(η-y)²)} f(ξ,η) dξ。由于f连续，g对x的偏导数为g_x'(η,x)=f(x+√(r²-(η-y)²),η)-f(x-√(r²-(η-y)²),η)，且连续。根据参变积分求导定理，得∂F/∂x = ∫_{y-r}^{y+r} [f(x+√(r²-(η-y)²),η)-f(x-√(r²-(η-y)²),η)] dη。
公式：∂F/∂x = ∫_{y-r}^{y+r} [f(x+√(r²-(η-y)²),η)-f(x-√(r²-(η-y)²),η)] dη
提示：注意求导时积分限也依赖于x，需使用莱布尼茨法则。
步骤 3/5
目标：将偏导数转化为曲线积分
将上述积分与第二型曲线积分对比。在圆周L: (ξ-x)²+(η-y)²=r²上，参数化：ξ=x+r cosθ, η=y+r sinθ，则dη = r cosθ dθ。曲线积分∫_L f(ξ,η) dη = ∫_0^{2π} f(x+r cosθ, y+r sinθ) r cosθ dθ。同时，上述积分中，令η=y+r sinθ，则dη = r cosθ dθ，且积分限对应θ从0到π和π到2π，合并后恰好等于∫_L f dη。因此∂F/∂x = ∫_L f dη。
公式：∂F/∂x = ∫_L f(ξ,η) dη
提示：注意曲线积分的方向为逆时针。
步骤 4/5
目标：类似地求∂F/∂y
同理，将F(x,y)先对ξ后对η积分，然后对y求偏导，可得∂F/∂y = -∫_L f(ξ,η) dξ。或者利用对称性。
公式：∂F/∂y = -∫_L f(ξ,η) dξ
提示：注意符号：dξ对应-sinθ，导致负号。
步骤 5/5
目标：证明偏导数的连续性
将∂F/∂x和∂F/∂y表示为参数积分：∂F/∂x = ∫_0^{2π} f(x+r cosθ, y+r sinθ) r cosθ dθ，∂F/∂y = ∫_0^{2π} f(x+r cosθ, y+r sinθ) r sinθ dθ。由于f连续，被积函数关于(x,y)连续，且积分区间有限，根据含参变量积分的连续性定理，这两个积分是(x,y)的连续函数。
公式：∂F/∂x = ∫_0^{2π} f(x+r cosθ, y+r sinθ) r cosθ dθ
提示：参数化时注意θ从0到2π。

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