方企勤 第六章 多元函数积分学 第1题

教材习题

📝 题目

例 1 计算第二型曲面积分

$$ I = {\iint }_{S}\frac{x\mathrm{\;d}y\mathrm{\;d}z + y\mathrm{\;d}z\mathrm{\;d}x + z\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y}{{\left( {x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2}\right) }^{3/2}}. $$

(1) $S : {x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} = {\varepsilon }^{2}$ ;

(2) $S$ 是不含原点在其内部的光滑闭曲面；

(3) $S$ 是含原点在其内部的光滑闭曲面.

💡 答案解析

解 (1) $\displaystyle{I = \frac{1}{{\varepsilon }^{3}}{\iint }_{S}x\mathrm{\;d}y\mathrm{\;d}z + y\mathrm{\;d}z\mathrm{\;d}x + z\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y}$

$$ = \frac{1}{{\varepsilon }^{3}}{\iint }_{V}\left( {1 + 1 + 1}\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y\mathrm{\;d}z = \frac{3}{{\varepsilon }^{3}} \cdot \frac{4}{3}\pi {\varepsilon }^{3} = {4\pi }. $$

(2) $P = \frac{x}{{r}^{3}},Q = \frac{y}{{r}^{3}},R = \frac{z}{{r}^{3}},\mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{i} + z\mathbf{k},r = \left| \mathbf{r}\right|$ ,

$$ \frac{\partial P}{\partial x} = \frac{1}{{r}^{3}} - \frac{3{x}^{2}}{{r}^{5}},\;\frac{\partial Q}{\partial y} = \frac{1}{{r}^{3}} - \frac{3{y}^{2}}{{r}^{5}}, $$

$$ \frac{\partial R}{\partial z} = \frac{1}{{r}^{3}} - \frac{3{z}^{2}}{{r}^{5}}, $$

所以

$$ I = {\iint }_{S}\frac{x\mathrm{\;d}y\mathrm{\;d}z + y\mathrm{\;d}z\mathrm{\;d}x + z\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y}{{r}^{3}} $$

$$ = {\iiint }_{V}\left( {\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}}\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y\mathrm{\;d}z $$

$$ = {\iiint }_{V}0\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y\mathrm{\;d}z = 0. $$

(3)由于函数 $P,Q,R$ 及其偏导数在 $S$ 所围区域上不连续(在原点处不连续),为此作半径充分小的球面 ${S}_{\epsilon } : {x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} = {\varepsilon }^{2}$ ,使 ${S}_{\epsilon }$ 在 $S$ 所围区域内,记 ${S}_{\varepsilon }$ 与 $S$ 间的区域为 ${V}_{\varepsilon }$ . 注意

$$ I = {\iint }_{S}\frac{x\mathrm{\;d}y\mathrm{\;d}z + y\mathrm{\;d}z\mathrm{\;d}x + z\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y}{{r}^{3}} = {\iint }_{S}\frac{\mathbf{r} \cdot \mathbf{n}}{{r}^{3}}\mathrm{\;d}S, $$

并用 ${S}_{\varepsilon }^{ - }$ 表示取内法线方向的定向曲面. 则由奥氏公式得

$$ {\iint }_{S}\frac{\mathbf{r} \cdot \mathbf{n}}{{r}^{3}}\mathrm{\;d}S + {\iint }_{{S}_{e}^{ - }}\frac{\mathbf{r} \cdot \mathbf{n}}{{r}^{3}}\mathrm{\;d}S = {\iiint }_{V}0\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y\mathrm{\;d}z = 0, $$

所以

$$ I = {\iint }_{S}\frac{\mathbf{r} \cdot \mathbf{n}}{{r}^{3}}\mathrm{\;d}S = - {\iint }_{{S}_{e}^{ - }}\frac{\mathbf{r} \cdot \mathbf{n}}{{r}^{3}}\mathrm{\;d}S = {\iint }_{{S}_{e}}\frac{\mathbf{r} \cdot \mathbf{n}}{{r}^{3}}\mathrm{\;d}S = {4\pi }. $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：计算曲面为球面 x^2+y^2+z^2=ε^2 时的积分
由于在球面上 r=ε 为常数，被积函数分母为 ε^3，积分化为 (1/ε^3)∬_S (x dy dz + y dz dx + z dx dy)。利用高斯公式，将曲面积分转化为三重积分：∬_S x dy dz + y dz dx + z dx dy = ∭_V (∂x/∂x + ∂y/∂y + ∂z/∂z) dV = ∭_V 3 dV = 3 * (4/3)π ε^3 = 4π ε^3。因此 I = (1/ε^3) * 4π ε^3 = 4π。
公式：高斯公式：∬_S P dy dz + Q dz dx + R dx dy = ∭_V (∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z) dV
提示：注意球面上 r 为常数，可提到积分号外。
步骤 2/3
目标：计算曲面为不含原点在其内部的光滑闭曲面时的积分
令 P = x/r^3, Q = y/r^3, R = z/r^3，其中 r = √(x^2+y^2+z^2)。计算偏导数：∂P/∂x = (r^3 - 3x^2 r)/r^6 = 1/r^3 - 3x^2/r^5，类似可得 ∂Q/∂y = 1/r^3 - 3y^2/r^5，∂R/∂z = 1/r^3 - 3z^2/r^5。求和得 ∂P/∂x+∂Q/∂y+∂R/∂z = 3/r^3 - 3(x^2+y^2+z^2)/r^5 = 3/r^3 - 3r^2/r^5 = 0。由于 S 不含原点，被积函数在 S 所围区域 V 内连续可微，由高斯公式得 I = ∭_V 0 dV = 0。
公式：散度计算：∇·(r/r^3) = 0 (r≠0)
提示：验证散度为零，注意原点处不连续，但区域不含原点。
步骤 3/3
目标：计算曲面为含原点在其内部的光滑闭曲面时的积分
由于原点处被积函数不连续，不能直接应用高斯公式。作半径为 ε 的小球面 S_ε (取内法向) 包围原点，使得 S_ε 完全位于 S 内部。记 S 与 S_ε 之间的区域为 V_ε。在 V_ε 上应用高斯公式：∬_S (r·n)/r^3 dS + ∬_{S_ε^-} (r·n)/r^3 dS = ∭_{V_ε} 0 dV = 0。注意 S_ε^- 取内法向，而外法向时积分值为 4π (由(1)知)，故内法向时积分值为 -4π。因此 ∬_S (r·n)/r^3 dS = -∬_{S_ε^-} (r·n)/r^3 dS = 4π。
公式：高斯公式应用于带奇点的区域：挖去小洞后散度为零，曲面积分等于小球面外法向积分
提示：注意方向：小球面内法向积分与 S 同向，但计算时转化为外法向。

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